Упр.1427 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

log4(x)-log2(y)=0,
x2-5y2+4=0;
2) система
x2+y4=16,
log2(x) + 2log2(y) =3.

1. Решим систему

   $$ \begin{cases} \log_4 x-\log_2 y=0,\\ x^2-5y^2+4=0. \end{cases} $$

   Так как $$\log_4 x=\frac12\log_2 x,$$ то первое уравнение можно записать так:

   $$ \frac12\log_2 x-\log_2 y=0 $$

   $$ \log_2 x-2\log_2 y=0 $$

   $$ \log_2 x-\log_2 y^2=0 $$

   $$ \log_2 \frac{x}{y^2}=0 $$

   $$ \frac{x}{y^2}=1,\quad x=y^2. $$

   Подставим в второе уравнение:

   $$ y^4-5y^2+4=0. $$

   Обозначим $$t=y^2$$. Тогда

   $$ t^2-5t+4=0 $$

   $$ (t-1)(t-4)=0. $$

   Отсюда $$t=1$$ или $$t=4$$, то есть

   $$ y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1,\qquad y^2=4 \Rightarrow y=\pm 2. $$

   Но по области определения логарифмов $$x>0$$ и $$y>0$$, значит

   $$ y=1,\ x=1;\qquad y=2,\ x=4. $$

2. Решим систему

   $$ \begin{cases} x^2+y^4=16,\\ \log_2 x+2\log_2 y=3. \end{cases} $$

   Второе уравнение преобразуем:

   $$ \log_2 x+\log_2 y^2=3 $$

   $$ \log_2(xy^2)=3 $$

   $$ xy^2=8. $$

   Тогда

   $$ x=\frac{8}{y^2}. $$

   Подставим в первое уравнение:

   $$ \left(\frac{8}{y^2}\right)^2+y^4=16 $$

   $$ \frac{64}{y^4}+y^4=16. $$

   Умножим на $$y^4$$:

   $$ 64+y^8=16y^4 $$

   $$ y^8-16y^4+64=0 $$

   $$ (y^4-8)^2=0. $$

   Значит,

   $$ y^4=8,\quad y=\sqrt[4]{8}. $$

   Тогда

   $$ x=\frac{8}{y^2}=\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}. $$

   С учётом области определения $$x>0$$, $$y>0$$ получаем единственное решение.

Ответ

1) $$(1;1),\ (4;2).$$

2) $$(\sqrt{8};\sqrt[4]{8}).$$