Упр.1427 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\begin{cases}\log_4(x)-\log_2(y)=0,\\x^2-5y^2+4=0;\end{cases}$$
2. $$\begin{cases}x^2+y^4=16,\\\log_2(x)+2\log_2(y)=3.\end{cases}$$

1. Из первого уравнения:

   $$\log_4 x-\log_2 y=0$$

   $$\frac12\log_2 x-\log_2 y=0$$

   $$\log_2 \sqrt{x}-\log_2 y=0$$

   $$\log_2 \frac{\sqrt{x}}{y}=0$$

   $$\frac{\sqrt{x}}{y}=1,\quad y=\sqrt{x}.$$

   Подставим во второе уравнение:

   $$x^2-5y^2+4=0$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ или $$x=4.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{1}=1,\qquad y=\sqrt{4}=2.$$

   С учётом области определения $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:

   $$(1;1),\ (4;2).$$

2. Из второго уравнения:

   $$\log_2 x+2\log_2 y=3$$

   $$\log_2 x+\log_2 y^2=3$$

   $$\log_2(xy^2)=\log_2 8$$

   $$xy^2=8,\quad x=\frac{8}{y^2}.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$x^2+y^4=16$$

   $$\left(\frac{8}{y^2}\right)^2+y^4=16$$

   $$\frac{64}{y^4}+y^4=16.$$

   Умножим на $$y^4$$:

   $$64+y^8=16y^4$$

   $$y^8-16y^4+64=0$$

   $$\left(y^4-8\right)^2=0.$$

   Значит,

   $$y^4=8,\quad y=\sqrt[4]{8}.$$

   Тогда

   $$x=\frac{8}{y^2}=\frac{8}{\sqrt{8}}=\sqrt{8}.$$

   Так как по определению логарифма $$x>0,\ y>0,$$ получаем:

   $$\left(\sqrt{8};\sqrt[4]{8}\right).$$

Ответ: 1) $$(1;1),\ (4;2)$$; 2) $$\left(\sqrt{8};\sqrt[4]{8}\right).$$