Упр.1426 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить систему уравнений (1426—1431).

1. 1426.
   1. $$\begin{cases}2(x+y)=32,\\3(3y-x)=27;\end{cases}$$
   2. $$\begin{cases}3x-2^2y=77,\\\frac{3x}{2}-2y=7;\end{cases}$$
   3. $$\begin{cases}3x\cdot2y=576,\\\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4;\end{cases}$$
   4. $$\begin{cases}\lg x+\lg y=4,\\x\lg y=1000.\end{cases}$$

1) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 2^{x+y}=32,\\ 3^{3y-x}=27. \end{cases}$$

Так как $$32=2^5$$, $$27=3^3$$, получаем

$$\begin{cases} x+y=5,\\ 3y-x=3. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$x=5-y$$. Подставим во второе:

$$3y-(5-y)=3,$$

$$4y=8,\quad y=2.$$

Тогда $$x=5-2=3$$.

Ответ: $$(3; 2).$$

2) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^x-2^{2y}=77,\\ 3^{x/2}-2^y=7. \end{cases}$$

Пусть

$$a=3^{x/2},\quad b=2^y,\quad a>0,\ b>0.$$

Тогда система принимает вид

$$\begin{cases} a^2-b^2=77,\\ a-b=7. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$a=b+7$$. Подставим в первое:

$$(b+7)^2-b^2=77,$$

$$14b+49=77,$$

$$14b=28,\quad b=2.$$

Тогда $$a=2+7=9$$.

Теперь найдём $$x$$ и $$y$$:

$$3^{x/2}=9=3^2 \Rightarrow \frac{x}{2}=2 \Rightarrow x=4,$$

$$2^y=2 \Rightarrow y=1.$$

Ответ: $$(4; 1).$$

3) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} 3^x\cdot 2^y=576,\\ \log_{\sqrt{2}}(y-x)=4. \end{cases}$$

Так как $$576=3^2\cdot 2^6$$, а $$4=\log_{\sqrt{2}}(\sqrt{2})^4=\log_{\sqrt{2}}4$$, то

$$\begin{cases} 3^x\cdot 2^y=3^2\cdot 2^6,\\ y-x=4. \end{cases}$$

Из второго уравнения $$y=x+4$$. Подставим в первое:

$$3^x\cdot 2^{x+4}=3^2\cdot 2^6,$$

$$3^x\cdot 2^x=3^2\cdot 2^2,$$

$$6^x=36.$$

Отсюда $$x=2$$, тогда $$y=2+4=6$$.

Ответ: $$(2; 6).$$

4) Рассмотрим систему

$$\begin{cases} \lg x+\lg y=4,\\ x^{\lg y}=1000. \end{cases}$$

Из первого уравнения

$$\lg(xy)=4 \Rightarrow xy=10^4.$$

Из второго уравнения

$$x^{\lg y}=1000=10^3.$$

Положим $$a=\lg x$$. Тогда $$\lg y=4-a$$, и второе уравнение можно записать так:

$$x^{\lg y}=10^{(\lg x)(\lg y)}=10^3,$$

значит

$$(\lg x)(\lg y)=3.$$

Получаем

$$a(4-a)=3,$$

$$a^2-4a+3=0,$$

$$(a-1)(a-3)=0.$$

Следовательно, $$a=1$$ или $$a=3$$.

1) Если $$\lg x=1$$, то $$x=10$$, а из $$xy=10^4$$ получаем $$y=1000$$.

2) Если $$\lg x=3$$, то $$x=1000$$, а из $$xy=10^4$$ получаем $$y=10$$.

Ответ: $$(10; 1000),\ (1000; 10).$$