Упр.1426 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1426 1) система
2(x+y)=32,
3(3y-x)=27;
2) система
3x-2^2y=77,
3x/2-2y=7;
3) система
3x*2y=576,
logкорень 2(y-x)=4;
4) lgx+lgy=4,
xlgy=1000.
$$\begin{cases} 2^{x+y}=32,\\ 3^{3y-x}=27 \end{cases}$$
Тогда
$$\begin{cases} 2^{x+y}=2^5,\\ 3^{3y-x}=3^3 \end{cases}$$
значит
$$\begin{cases} x+y=5,\\ 3y-x=3 \end{cases}$$
Из первого уравнения $$x=5-y$$. Подставим во второе:
$$3y-(5-y)=3,$$
$$4y=8,$$
$$y=2.$$
Тогда
$$x=5-2=3.$$Ответ: $$(3; 2).$$
$$\begin{cases} 3^x-2^{2y}=77,\\ 3^{x/2}-2^y=7 \end{cases}$$
Обозначим
$$a=3^{x/2}, \quad b=2^y,$$
тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a^2-b^2=77,\\ a-b=7 \end{cases}$$
Так как
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$
получаем
$$7(a+b)=77,$$
$$a+b=11.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a-b=7,\\ a+b=11 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2a=18,$$
$$a=9,$$
тогда
$$b=2.$$
Теперь
$$3^{x/2}=9=3^2,$$
откуда
$$\frac{x}{2}=2,\quad x=4.$$
И
$$2^y=2,$$
значит
$$y=1.$$Ответ: $$(4; 1).$$
$$\begin{cases} 3^x\cdot 2^y=576,\\ \log_{\sqrt{2}}(y-x)=4 \end{cases}$$
Так как
$$576=3^2\cdot 2^6,$$
а
$$\log_{\sqrt{2}}(y-x)=4 \iff y-x=(\sqrt{2})^4=4,$$
то
$$y=x+4.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3^x\cdot 2^{x+4}=3^2\cdot 2^6,$$
$$3^x\cdot 2^x=3^2\cdot 2^2,$$
$$6^x=36.$$
Отсюда
$$x=2,$$
тогда
$$y=2+4=6.$$Ответ: $$(2; 6).$$
$$\begin{cases} \lg x+\lg y=4,\\ x^{\lg y}=1000 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$\lg(xy)=4,$$
значит
$$xy=10^4.$$
Из второго:
$$x^{\lg y}=1000=10^3.$$
Возьмём логарифм по основанию $$x$$:
$$\lg y=\log_x 10^3=\frac{3}{\log_x 10}.$$
Удобнее положить
$$a=\lg x.$$
Тогда
$$\lg y=4-a,$$
а из второго уравнения получаем
$$x^{\lg y}=10^3.$$
Подставим $$x=10^a$$ и $$\lg y=4-a$$:
$$\left(10^a\right)^{4-a}=10^3,$$
$$10^{a(4-a)}=10^3,$$
$$a(4-a)=3,$$
$$a^2-4a+3=0.$$
Тогда
$$a=1 \quad \text{или} \quad a=3.$$
Если $$a=1,$$ то
$$\lg x=1,\quad x=10,\quad y=\frac{10^4}{10}=1000.$$
Если $$a=3,$$ то
$$\lg x=3,\quad x=1000,\quad y=\frac{10^4}{1000}=10.$$Ответ: $$(10; 1000),\ (1000; 10).$$
