Упр.1425 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\begin{cases}\dfrac{x}{y}-\dfrac{y}{x}=\dfrac{3}{2},\\x^2+y^2=20.\end{cases}$$
- $$\begin{cases}\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}=3\ast\dfrac{1}{3},\\x^2-y^2=8.\end{cases}$$
- $$\begin{cases}x^2=13x+4y,\\y^2=4x+13y.\end{cases}$$
- $$\begin{cases}3x^2+y^2-4x=40,\\2x^2+y^2+3x=52.\end{cases}$$
1) Пусть $$\frac{x}{y}=t.$$ Тогда из системы получаем
$$t-\frac{1}{t}=\frac{3}{2}$$
$$2t^2-3t-2=0$$
$$D=9+16=25,$$
$$t_1=2,\quad t_2=-\frac12.$$
Если $$\frac{x}{y}=2,$$ то $$x=2y,$$ и
$$(2y)^2+y^2=20$$
$$5y^2=20$$
$$y=\pm 2,\quad x=\pm 4.$$
Если $$\frac{x}{y}=-\frac12,$$ то $$x=-\frac12y,$$ и
$$\left(-\frac12y\right)^2+y^2=20$$
$$\frac14y^2+y^2=20$$
$$\frac54y^2=20$$
$$y=\pm 4,\quad x=\mp 2.$$
Итак, решения системы:
$$(-4;-2),\ (4;2),\ (2;-4),\ (-2;4).$$
2) Пусть $$\frac{y}{x}=t.$$ Тогда
$$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}$$
$$3t^2-10t+3=0$$
$$D=100-36=64,$$
$$t_1=3,\quad t_2=\frac13.$$
Если $$\frac{y}{x}=3,$$ то $$y=3x,$$ и
$$x^2-y^2=8$$
$$x^2-9x^2=8$$
$$-8x^2=8,$$
откуда действительных решений нет.
Если $$\frac{y}{x}=\frac13,$$ то $$x=3y,$$ и
$$9y^2-y^2=8$$
$$8y^2=8$$
$$y=\pm 1,\quad x=\pm 3.$$
Следовательно,
$$(-3;-1),\ (3;1).$$
3) Из системы
$$x^2=13x+4y,$$
$$y^2=4x+13y$$
вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-y^2=13x+4y-4x-13y$$
$$x^2-y^2=9x-9y$$
$$(x-y)(x+y)=9(x-y)$$
$$(x-y)(x+y-9)=0.$$
Отсюда два случая.
1. $$x=y.$$ Тогда
$$x^2=13x+4x$$
$$x^2-17x=0$$
$$x(x-17)=0,$$
значит, $$x=0$$ или $$x=17.$$
Получаем точки $$(0;0)$$ и $$(17;17).$$
2. $$x+y=9.$$ Тогда $$x=9-y,$$ и
$$y^2=4(9-y)+13y$$
$$y^2-9y-36=0$$
$$D=81+144=225,$$
$$y_1=-3,\quad y_2=12.$$
Тогда
$$x=12,\ y=-3;\qquad x=-3,\ y=12.$$
Ответ:
$$(0;0),\ (17;17),\ (12;-3),\ (-3;12).$$
4) Из системы
$$3x^2+y^2-4x=40,$$
$$2x^2+y^2+3x=52$$
вычтем второе уравнение из первого:
$$x^2-7x=-12$$
$$x^2-7x+12=0$$
$$D=49-48=1,$$
$$x_1=3,\quad x_2=4.$$
Если $$x=3,$$ то
$$27+y^2-12=40$$
$$y^2=25,$$
откуда $$y=\pm 5.$$
Если $$x=4,$$ то
$$48+y^2-16=40$$
$$y^2=8,$$
откуда $$y=\pm 2\sqrt2.$$
Итак, решения системы:
$$(3;-5),\ (3;5),\ (4;-2\sqrt2),\ (4;2\sqrt2).$$
