Упр.1423 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1423. Найти действительные:
1) систему $$y+5=x^2,\quad x^2+y^2=23$$;
2) систему $$xy=16,\quad \frac{x}{y}=4$$;
3) систему $$x^2+2y^2=96,\quad x=2y$$.
Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$y=x^2-5.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x^2+(x^2-5)^2=25.$$
Раскроем скобки и упростим:
$$x^2+x^4-10x^2+25=25$$
$$x^4-9x^2=0$$
$$x^2(x^2-9)=0$$
$$x^2(x-3)(x+3)=0.$$Отсюда $$x=0$$, $$x=3$$ или $$x=-3$$.
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$x=0 \Rightarrow y=0^2-5=-5;$$
$$x=3 \Rightarrow y=3^2-5=4;$$
$$x=-3 \Rightarrow y=(-3)^2-5=4.$$Получаем решения: $$\left(0;-5\right),\ \left(3;4\right),\ \left(-3;4\right).$$
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$\frac{x}{y}=4 \Rightarrow x=4y,$$
где $$y\neq 0$$.
Подставим в первое уравнение:
$$xy=16 \Rightarrow 4y^2=16.$$
Тогда
$$y^2=4,\quad y=\pm 2.$$
Найдём $$x$$:
$$y=2 \Rightarrow x=8;$$
$$y=-2 \Rightarrow x=-8.$$Ответ: $$\left(8;2\right),\ \left(-8;-2\right).$$
Из второго уравнения выразим $$x$$:
$$x=2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\left(2y\right)^2+2y^2=96.$$
Упростим:
$$4y^2+2y^2=96$$
$$6y^2=96$$
$$y^2=16$$
$$y=\pm 4.$$Тогда
$$y=4 \Rightarrow x=8;$$
$$y=-4 \Rightarrow x=-8.$$Ответ: $$\left(8;4\right),\ \left(-8;-4\right).$$
