Упр.1420 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2а2 + b2 + с2 > = 2а (b + с).

1. Докажем неравенство

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3,\qquad a>0,\ b>0,\ c>0.$$

   Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом:

   $$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1.$$

   Тогда

   $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.$$

2. Докажем неравенство

   $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$

   Перенесём всё в одну сторону и преобразуем:

   $$2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\ge 0,$$

   $$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\ge 0,$$

   $$ (a-b)^2+(a-c)^2\ge 0.$$

   Так как сумма квадратов неотрицательна, неравенство верно.

Ответ

1) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.$$

2) $$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$