Упр.1420 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq 3$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$c>0$$.
2. $$2a^2+b^2+c^2\geq 2a(b+c)$$.

1) Рассмотрим выражение

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}.$$

При $$a>0,\; b>0,\; c>0$$ по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом имеем:

$$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.$$

2) Докажем неравенство

$$2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$

Перенесём всё в левую часть:

$$2a^2+b^2+c^2-2ab-2ac\ge 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2\ge 0,$$

то есть

$$(a-b)^2+(a-c)^2\ge 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, неравенство верно.

Ответ:

$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3,\qquad 2a^2+b^2+c^2\ge 2a(b+c).$$