Упр.142 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. 1) $$\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}$$; 2) $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x-2}$$; 3) $$(x-3)(x-5)=3(x-5)$$; 4) $$(x-2)(x^2+1)=2(x^2+1)$$.

1) $$\frac{x}{x+1}+\frac{2x}{x-1}=\frac{4x}{x^2-1}$$

ОДЗ: $$x\ne -1,\; x\ne 1.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{x(x-1)+2x(x+1)}{x^2-1}=\frac{4x}{x^2-1}$$

$$x(x-1)+2x(x+1)-4x=0$$

$$x^2-x+2x^2+2x-4x=0$$

$$3x^2-3x=0$$

$$3x(x-1)=0$$

$$x=0 \text{ или } x=1$$

С учётом ОДЗ подходит только $$x=0.$$

2) $$\frac{x-1}{x-2}-\frac{2}{x}=\frac{1}{x-2}$$

ОДЗ: $$x\ne 0,\; x\ne 2.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{x-1}{x-2}-\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x}=0$$

$$\frac{x-2}{x-2}-\frac{2}{x}=0$$

$$1-\frac{2}{x}=0$$

$$\frac{x-2}{x}=0$$

$$x-2=0$$

$$x=2$$

Но $$x=2$$ не входит в ОДЗ, значит корней нет.

3) $$\left(x-3\right)\left(x-5\right)=3\left(x-5\right)$$

$$\left(x-3\right)\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)=0$$

$$\left(x-5\right)\left(x-3-3\right)=0$$

$$\left(x-5\right)\left(x-6\right)=0$$

$$x=5 \text{ или } x=6$$

4) $$\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)=2\left(x^2+1\right)$$

$$\left(x-2\right)\left(x^2+1\right)-2\left(x^2+1\right)=0$$

$$\left(x-4\right)\left(x^2+1\right)=0$$

$$x=4 \text{ или } x^2+1=0$$

Так как $$x^2+1=0$$ не имеет действительных корней, получаем $$x=4.$$

Ответ

1) $$x=0$$; 2) корней нет; 3) $$x=5,\;6$$; 4) $$x=4$$.