Упр.1419 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$(a+b)(ab+1)>4ab$$, если $$a>0$$, $$b>0$$;
2. $$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2)$$, если $$a\ne b$$.

1) Пусть $$x=ab.$$ Тогда $$a=\frac{x}{b}$$ и

$$\left(\frac{x}{b}+b\right)(x+1)\ge 4x.$$

Умножим на $$b>0$$:

$$(x+b^2)(x+1)-4bx\ge 0.$$

Раскроем скобки и приведём подобные:

$$x^2+b^2x+x+b^2-4bx\ge 0,$$

$$x^2-2bx+b^2+x(1-2b+b^2)\ge 0,$$

$$(x-b)^2+x(1-b)^2\ge 0.$$

Возвращаясь к $$x=ab$$, получаем

$$(ab-b)^2+ab(1-b)^2\ge 0.$$

Так как $$ab>0$$ и $$(1-b)^2\ge 0,$$ то неравенство верно.

2) Преобразуем левую часть:

$$a^4+6a^2b^2+b^4=(a^4+2a^2b^2+b^4)+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2+4a^2b^2.$$

Тогда

$$a^4+6a^2b^2+b^4-4ab(a^2+b^2) =(a^2+b^2)^2-4ab(a^2+b^2)+4a^2b^2$$

$$=(a^2+b^2-2ab)^2=(a-b)^4.$$

При $$a\ne b$$ имеем $$(a-b)^4>0,$$ значит

$$a^4+6a^2b^2+b^4>4ab(a^2+b^2).$$

Ответ: оба неравенства доказаны.