Упр.1418 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- Доказать неравенство (1418—1420).
1) Рассмотрим неравенство
$$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$
Умножим обе части на $$2$$:
$$2ab \le a^2+b^2.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$a^2-2ab+b^2 \ge 0.$$
Но
$$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2 \ge 0.$$
Следовательно,
$$ab \le \frac{a^2+b^2}{2}.$$
Неравенство доказано.
2) Докажем неравенство
$$\frac{a^3+b^3}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$
если $$a>0,\ b>0,\ a\ne b.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3>0,$$
$$\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8}>0,$$
$$\frac{3a^3+3b^3-3a^2b-3ab^2}{8}>0,$$
$$\frac{3(a^3+b^3-ab(a+b))}{8}>0.$$
Разложим выражение в скобках на множители:
$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2.$$
Тогда
$$\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}>0.$$
Так как $$a>0,\ b>0,$$ то $$a+b>0,$$ а при $$a\ne b$$ имеем $$\left(a-b\right)^2>0.$$ Значит, всё выражение положительно.
Следовательно,
$$\frac{a^3+b^3}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^3.$$
Неравенство доказано.
