Упр.1417 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Используя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке $$[-3\pi;\pi]$$:
1) $$2\cos x-\sqrt{3}<0$$;
2) $$\sqrt{2}\sin x+1\geqslant0$$;
3) $$\sqrt{3}+\operatorname{tg}x\leqslant0$$;
4) $$3\operatorname{tg}x-2>0$$.

Подробный ответ

1) $$2\cos x-\sqrt{3}<0$$

$$\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Точки пересечения с прямой $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$$: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n$$.

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$ получаем:

$$x\in\left[-3\pi;-\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{11\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\pi\right].$$

2) $$\sqrt{2}\sin x+1\ge 0$$

$$\sin x\ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Точки пересечения с прямой $$y=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$: $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n$$ и $$x=\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$.

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

$$x\in\left[-3\pi;-\frac{11\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{9\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\pi\right].$$

3) $$\sqrt{3}+\tg x\le 0$$

$$\tg x\le -\sqrt{3}$$

Точки пересечения с прямой $$y=-\sqrt{3}$$: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$.

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

$$x\in\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{7\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{4\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right).$$

4) $$3\tg x-2>0$$

$$\tg x>\frac{2}{3}$$

Пусть $$\alpha=\arctg\frac{2}{3}$$. Тогда

$$x\in\left(\alpha+\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right),\quad n\in\mathbb{Z}.$$

На отрезке $$[-3\pi;\pi]$$:

$$x\in\left(\alpha-3\pi;-\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\alpha;\frac{\pi}{2}\right).$$

Ответ

1) $$\left[-3\pi;-\frac{13\pi}{6}\right)\cup\left(-\frac{11\pi}{6};-\frac{\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{\pi}{6};\pi\right]$$;
2) $$\left[-3\pi;-\frac{11\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{9\pi}{4};-\frac{3\pi}{4}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{4};\pi\right]$$;
3) $$\left[-\frac{5\pi}{2};-\frac{7\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{3\pi}{2};-\frac{4\pi}{3}\right]\cup\left[-\frac{\pi}{2};-\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2};\pi\right)$$;
4) $$\left(\arctg\frac{2}{3}-3\pi;-\frac{5\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-2\pi;-\frac{3\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3}-\pi;-\frac{\pi}{2}\right)\cup\left(\arctg\frac{2}{3};\frac{\pi}{2}\right).$$