Упр.1416 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. С помощью графика решить неравенства: 1) $$\sin x < \frac{1}{4}$$; 2) $$\sin x > -\frac{1}{4}$$; 3) $$\operatorname{tg} x — 3 \leq 0$$; 4) $$\cos x > \frac{1}{3}$$.

1) Рассмотрим графики функций $$y=\sin x$$ и $$y=\frac14.$$ Точки пересечения задаются уравнением

$$\sin x=\frac14,$$

откуда

$$x=\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi-\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Значит, неравенство $$\sin x<\frac14$$ выполняется между этими точками:

$$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Аналогично, для неравенства $$\sin x>-\frac14$$ имеем точки пересечения

$$\sin x=-\frac14,$$

то есть

$$x=-\arcsin\frac14+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) Для неравенства $$\tg x-3\le 0$$ получаем

$$\tg x\le 3.$$

На каждом промежутке монотонности функции $$y=\tg x$$ решение имеет вид

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) Для неравенства $$\cos x>\frac13$$ точки пересечения графиков $$y=\cos x$$ и $$y=\frac13$$ задаются уравнением

$$\cos x=\frac13,$$

откуда

$$x=\pm \arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\pi-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$-\arcsin\frac14+2\pi n<x<\pi+\arcsin\frac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$-\arccos\frac13+2\pi n<x<\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$