Упр.1415 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos(2x-пи/3) < -1/2.

1. $$\cos(-3x)\ge \frac{\sqrt3}{2}$$

   Так как $$\cos(-3x)=\cos 3x,$$ получаем

   $$\cos 3x\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Положим $$3x=y.$$ Тогда

   $$\cos y\ge \frac{\sqrt3}{2}.$$

   Отсюда

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le y\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем

   $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

   $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$

2. $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)<-\frac12$$

   Положим $$2x-\frac{\pi}{3}=y.$$ Тогда

   $$\cos y<-\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<y<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Подставим $$y=2x-\frac{\pi}{3}:$$

   $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{3}<\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

   $$\pi+2\pi n<2x<\frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z,$$

   $$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$

2) $$\frac{\pi}{2}+\pi n<x<\frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$