Упр.1414 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$x(1+\lg x)<0{,}1^{-2}$$
- $$\sqrt{x^4\lg x}>10x$$
- $$x+3>\log_3(26+3x)$$
- $$3-x<\log_5(20+5x)$$
1) $$x^{1+\lg x}<0{,}1^{-2}$$
Так как $$0{,}1^{-2}=100,$$ получаем
$$x^{1+\lg x}<100.$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим два случая.
Если $$0<x<1,$$ то основание логарифма $$x$$ меньше 1, поэтому при переходе к логарифму знак неравенства меняется:
$$\log_x x^{1+\lg x}>\log_x 100,$$
$$1+\lg x>\frac{\lg 100}{\lg x}=\frac{2}{\lg x}.$$
Умножим на $$\lg x<0$$ и перенесём всё в одну сторону:
$$\lg x+\lg^2 x<2.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2+y-2<0,$$
$$(y+2)(y-1)<0,$$
$$-2<y<1.$$
С учётом $$0<x<1$$ получаем
$$10^{-2}<x<1,$$
то есть $$0{,}01<x<1.$$
Если $$x>1,$$ то знак неравенства сохраняется:
$$\log_x x^{1+\lg x}<\log_x 100,$$
$$1+\lg x<\frac{2}{\lg x}.$$
После умножения на $$\lg x>0$$ имеем
$$\lg x+\lg^2 x<2.$$
Пусть снова $$y=\lg x.$$ Тогда
$$y^2+y-2<0,$$
$$-2<y<1.$$
С учётом $$x>1$$ получаем
$$1<x<10.$$
Итак,
$$0{,}01<x<10,$$
причём $$x\neq 1$$, так как при $$x=1$$ исходное неравенство не выполняется.
2) $$\sqrt{x^{4\lg x}}>10^x$$
Так как $$\sqrt{x^{4\lg x}}=x^{2\lg x},$$ получаем
$$x^{2\lg x}>10^x.$$
Область определения: $$x>0.$$
Рассмотрим два случая.
Если $$0<x<1,$$ то при переходе к логарифму знак меняется:
$$2\lg x>1+\frac{1}{\lg x}.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$2y^2-y-1<0,$$
$$(2y+1)(y-1)<0,$$
$$-\frac12<y<1.$$
С учётом $$0<x<1$$ получаем
$$\frac{1}{\sqrt{10}}<x<1.$$
Если $$x>1,$$ то знак сохраняется:
$$2\lg x<1+\frac{1}{\lg x}.$$
Пусть $$y=\lg x.$$ Тогда
$$2y^2-y-1>0,$$
$$(2y+1)(y-1)>0,$$
$$y<-\frac12 \ \text{или}\ y>1.$$
С учётом $$x>1$$ остаётся
$$x>10.$$
Итак,
$$\frac{1}{\sqrt{10}}<x<1 \quad \text{или} \quad x>10.$$
3) $$x+3>\log_3(26+3^x)$$
Перепишем левую часть как логарифм:
$$\log_3 3^{x+3}>\log_3(26+3^x).$$
Так как основание $$3>1,$$ получаем
$$3^{x+3}>26+3^x.$$
Тогда
$$27\cdot 3^x>26+3^x,$$
$$26\cdot 3^x>26,$$
$$3^x>1,$$
$$x>0.$$
При этом $$26+3^x>0$$ при любых $$x,$$ значит ограничений нет.
4) $$3-x<\log_5(20+5^x)$$
Запишем левую часть как логарифм:
$$\log_5 5^{3-x}<\log_5(20+5^x).$$
Так как основание $$5>1,$$ получаем
$$5^{3-x}<20+5^x.$$
Положим $$y=5^x,$$ тогда $$y>0$$ и
$$\frac{125}{y}<20+y.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$125<20y+y^2,$$
$$y^2+20y-125>0,$$
$$(y-5)(y+25)>0.$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y>5,$$ то есть
$$5^x>5,$$
$$x>1.$$
Кроме того, $$20+5^x>0$$ при любых $$x.$$
Ответ
1) $$0{,}01<x<10,\ x\neq 1.$$
2) $$\frac{1}{\sqrt{10}}<x<1$$ или $$x>10.$$
3) $$x>0.$$
4) $$x>1.$$
