Упр.1413 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0$$
2. $$\left(3x-1\right)\log_2(x)>0$$

1. $$\left(x^2-4\right)\log_{0,5}x>0.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-4=(x-2)(x+2).$$

   Тогда

   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\log_{0,5}x>0.$$

   Так как при $$x>0$$ множитель $$x+2>0,$$ достаточно решить неравенство

   $$\left(x-2\right)\log_{0,5}x>0.$$

   Произведение положительно, если оба множителя одного знака.

   1) $$x-2>0$$ и $$\log_{0,5}x>0.$$

   Из $$x-2>0$$ получаем $$x>2,$$ а из $$\log_{0,5}x>0$$ — $$0<x<1.$$ Совместных решений нет.

   2) $$x-2<0$$ и $$\log_{0,5}x<0.$$

   Из $$x-2<0$$ получаем $$x<2,$$ а из $$\log_{0,5}x<0$$ — $$x>1.$$ Тогда

   $$1<x<2.$$

2. $$\left(3x-1\right)\log_2x>0.$$

   Область определения: $$x>0.$$

   Произведение положительно, если оба множителя одного знака.

   1) $$3x-1>0$$ и $$\log_2x>0.$$

   Тогда $$x>\frac13$$ и $$x>1,$$ значит

   $$x>1.$$

   2) $$3x-1<0$$ и $$\log_2x<0.$$

   Тогда $$x<\frac13$$ и $$0<x<1,$$ значит

   $$0<x<\frac13.$$

   Итак,

   $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$

Ответ: 1) $$1<x<2$$; 2) $$x\in\left(0;\frac13\right)\cup(1;+\infty).$$