Упр.1412 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2)log1/3(log4(c2-5)) > 0.

1. $$\log_{\frac12}\!\left(\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0$$
   
   Так как $$0<\frac12<1,$$ то
   $$\log_{\frac12}A\le 0 \iff A\ge 1.$$
   Тогда
   $$ \log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\ge 1. $$
   Снова учитываем, что основание меньше 1:
   $$ \frac{3x+1}{x-1}\le \frac12. $$
   Решим неравенство:
   $$ \frac{3x+1}{x-1}\le \frac12 \iff 2(3x+1)\le x-1 \quad \text{при } x>1, $$
   но удобнее сразу привести к общему виду:
   $$ \frac{3x+1}{x-1}-\frac12\le 0 \iff \frac{5x+3}{2(x-1)}\le 0. $$
   Отсюда
   $$ x\in\left[-\frac35;1\right). $$
   Теперь учтём область определения внутреннего логарифма:
   $$ \frac{3x+1}{x-1}>0 \iff x<-\frac13 \ \text{или}\ x>1. $$
   Пересечение даёт
   $$ x\in\left[-\frac35;-\frac13\right). $$
2. $$\log_{\frac13}\!\left(\log_4(x^2-5)\right)>0$$
   
   Так как $$0<\frac13<1,$$ то
   $$\log_{\frac13}B>0 \iff 0<B<1.$$
   Значит,
   $$ 0<\log_4(x^2-5)<1. $$
   Так как основание $$4>1,$$ получаем систему:
   $$ \begin{cases} x^2-5>0,\\ x^2-5<4. \end{cases} $$
   То есть
   $$ \begin{cases} x^2>5,\\ x^2<9. \end{cases} $$
   Отсюда
   $$ x\in(-3;-\sqrt5)\cup(\sqrt5;3). $$

Ответ

1) $$x\in\left[-\frac35;-\frac13\right);$$
2) $$x\in(-3;-\sqrt5)\cup(\sqrt5;3).$$