Упр.1412 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{\frac{1}{2}}\left(\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{3x+1}{x-1}\right)\right)\leq 0$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\log_{4}(c2-5)\right)>0$$

1) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac12}\!\left(\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\right)\le 0.$$

Так как основание $$\frac12<1,$$ то

$$\log_{\frac12}\frac{3x+1}{x-1}\ge 1.$$

Отсюда

$$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12.$$

Решим неравенство:

$$\frac{3x+1}{x-1}\le \frac12 \iff 2(3x+1)\le x-1 \quad \text{при } x>1 \text{ или } x<1.$$

Удобнее привести к общему виду:

$$\frac{3x+1}{x-1}-\frac12\le 0 \iff \frac{6x+2-x+1}{2(x-1)}\le 0 \iff \frac{5x+3}{x-1}\le 0.$$

Критические точки: $$x=-\frac35$$ и $$x=1.$$ Тогда

$$x\in\left[-\frac35;1\right).$$

Но нужно учесть область определения внутреннего логарифма:

$$\frac{3x+1}{x-1}>0.$$

Решая это неравенство, получаем

$$x<-\frac13 \quad \text{или} \quad x>1.$$

Пересечение с найденным промежутком даёт

$$x\in\left[-\frac35;-\frac13\right).$$

2) Рассмотрим неравенство

$$\log_{\frac13}\!\left(\log_4(x^2-5)\right)>0.$$

Так как основание $$\frac13<1,$$ то

$$\log_4(x^2-5)<1.$$

При этом выражение под внешним логарифмом должно быть положительным:

$$\log_4(x^2-5)>0.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} \log_4(x^2-5)>0,\\ \log_4(x^2-5)<1. \end{cases}$$

Так как основание $$4>1,$$ имеем

$$\begin{cases} x^2-5>1,\\ x^2-5<4. \end{cases}$$

То есть

$$\begin{cases} x^2>6,\\ x^2<9. \end{cases}$$

Следовательно,

$$x\in(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3).$$

Ответ: 1) $$x\in\left[-\frac35;-\frac13\right);$$ 2) $$x\in(-3;-\sqrt6)\cup(\sqrt6;3).$$