Упр.1410 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) log3 (1 — 2x) < —1.

1) $$\log_{0,5}(1+2x)>-1.$$

Так как $$-1=\log_{0,5}2,$$ а при основании $$0<0,5<1$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется, получаем:

$$1+2x<2.$$

Одновременно выражение под логарифмом должно быть положительным:

$$1+2x>0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 1+2x>0,\\ 1+2x<2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x>-\dfrac12,\\ x<\dfrac12 \end{cases} $$

Следовательно,

$$x\in\left(-\dfrac12;\dfrac12\right).$$

2) $$\log_3(1-2x)<-1.$$

Так как $$-1=\log_3\dfrac13,$$ а основание $$3>1,$$ знак неравенства сохраняется:

$$1-2x<\dfrac13.$$

Также должно выполняться условие существования логарифма:

$$1-2x>0.$$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 1-2x>0,\\ 1-2x<\dfrac13 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x<\dfrac12,\\ x>\dfrac13 \end{cases} $$

Значит,

$$x\in\left(\dfrac13;\dfrac12\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\dfrac12;\dfrac12\right);$$ 2) $$x\in\left(\dfrac13;\dfrac12\right).$$