Упр.1410 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{0,5}(1+2x)>-1$$
2. $$\log_{3}(1-2x)<-1$$

1. $$\log_{0,5}(1+2x)>-1$$

   Так как $$-1=\log_{0,5}2,$$ а при основании $$0<0,5<1$$ знак неравенства при переходе к показательной форме меняется, получаем:

   $$1+2x<2.$$

   Одновременно должно выполняться условие существования логарифма:

   $$1+2x>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 1+2x>0,\\ 1+2x<2 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x>-\dfrac12,\\ x<\dfrac12 \end{cases}$$

   Следовательно, $$x\in\left(-\dfrac12;\dfrac12\right).$$

2. $$\log_3(1-2x)<-1$$

   Так как $$-1=\log_3\dfrac13,$$ а основание $$3>1,$$ знак неравенства сохраняется:

   $$1-2x<\dfrac13.$$

   Также учитываем область определения:

   $$1-2x>0.$$

   Решаем систему:

   $$\begin{cases} 1-2x>0,\\ 1-2x<\dfrac13 \end{cases}$$

   $$\begin{cases} x<\dfrac12,\\ x>\dfrac13 \end{cases}$$

   Следовательно, $$x\in\left(\dfrac13;\dfrac12\right).$$

Ответ: 1) $$x\in\left(-\dfrac12;\dfrac12\right);$$ 2) $$x\in\left(\dfrac13;\dfrac12\right).$$