Упр.1400 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- 1400. Решить неравенство:
1) $$|2x-3|
3) $$|x^2-7x+12|\leq 6$$;
4) $$|x^2-3x-4|>6$$;
5) $$|2x^2-x-1|\geq 5$$;
6) $$|3x^2-x-4|<2$$.
1) Рассмотрим два случая.
Если $$2x-3\ge 0,$$ то $$|2x-3|=2x-3,$$ и получаем
$$2x-3<x \;\Rightarrow\; x<3.$$
С учётом условия $$2x-3\ge 0$$ имеем $$x\ge \frac32,$$ значит, $$\frac32\le x<3.$$
Если $$2x-3<0,$$ то $$|2x-3|=-(2x-3),$$ и тогда
$$-2x+3<x \;\Rightarrow\; 3<3x \;\Rightarrow\; x>1.$$
С учётом условия $$x<\frac32$$ получаем $$1<x<\frac32.$$
Объединяя, имеем $$1<x<3.$$
2) Рассмотрим два случая.
Если $$4-x\ge 0,$$ то $$|4-x|=4-x,$$ и
$$4-x>x \;\Rightarrow\; 4>2x \;\Rightarrow\; x<2.$$
С учётом условия $$x\le 4$$ получаем $$x<2.$$
Если $$4-x<0,$$ то $$|4-x|=x-4,$$ и
$$x-4>x,$$
что невозможно.
Значит, $$x<2.$$
3) $$|x^2-7x+12|\le 6$$
Это равносильно системе неравенств
$$-6\le x^2-7x+12\le 6.$$
Решим по частям:
$$x^2-7x+12\le 6 \;\Rightarrow\; x^2-7x+6\le 0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-6)\le 0,$$
откуда $$1\le x\le 6.$$
Второе неравенство:
$$x^2-7x+12\ge -6 \;\Rightarrow\; x^2-7x+18\ge 0.$$
Так как $$D=49-72=-23<0,$$ а старший коэффициент положителен, то это неравенство верно при всех $$x.$$
Следовательно, ответ: $$1\le x\le 6.$$
4) $$|x^2-3x-4|>6$$
Рассмотрим два случая.
Если $$x^2-3x-4\ge 0,$$ то
$$x^2-3x-4>6 \;\Rightarrow\; x^2-3x-10>0 \;\Rightarrow\; (x+2)(x-5)>0,$$
откуда $$x<-2$$ или $$x>5.$$
Если $$x^2-3x-4<0,$$ то
$$-(x^2-3x-4)>6 \;\Rightarrow\; x^2-3x+2<0 \;\Rightarrow\; (x-1)(x-2)<0,$$
откуда $$1<x<2.$$
Итак, $$x<-2,\; 1<x<2,\; x>5.$$
5) $$|2x^2-x-1|\ge 5$$
Рассмотрим два случая.
Если $$2x^2-x-1\ge 0,$$ то
$$2x^2-x-1\ge 5 \;\Rightarrow\; 2x^2-x-6\ge 0.$$
Корни уравнения $$2x^2-x-6=0$$:
$$D=1+48=49,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{4},$$
то есть $$x_1=-\frac32,\; x_2=2.$$
Тогда $$2x^2-x-6\ge 0$$ при $$x\le -\frac32$$ или $$x\ge 2.$$
Если $$2x^2-x-1<0,$$ то
$$-(2x^2-x-1)\ge 5 \;\Rightarrow\; 2x^2-x+4\le 0,$$
но у этого квадратного трёхчлена $$D=1-32=-31<0,$$ значит, решений нет.
Итак, $$x\le -\frac32$$ или $$x\ge 2.$$
6) $$|3x^2-x-4|<2$$
Рассмотрим два случая.
Если $$3x^2-x-4\ge 0,$$ то
$$3x^2-x-4<2 \;\Rightarrow\; 3x^2-x-6<0.$$
Найдём корни:
$$D=1+72=73,\qquad x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{73}}{6}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Если $$3x^2-x-4<0,$$ то
$$-(3x^2-x-4)<2 \;\Rightarrow\; 3x^2-x-2>0 \;\Rightarrow\; (3x+2)(x-1)>0,$$
откуда $$x<-\frac23$$ или $$x>1.$$
С учётом условия $$3x^2-x-4<0$$ получаем $$-\frac23<x<1.$$
Объединяя, имеем
$$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}.$$
Ответ
1) $$1<x<3$$; 2) $$x<2$$; 3) $$1\le x\le 6$$; 4) $$x<-2,\; 1<x<2,\; x>5$$; 5) $$x\le -\frac32,\; x\ge 2$$; 6) $$\frac{1-\sqrt{73}}{6}<x<\frac{1+\sqrt{73}}{6}$$.
