Упр.140 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Равносильны ли следующие неравенства:

1. $$2x-1\geq 2$$ и $$2(x-1)\geq 1$$;
2. $$(x-1)(x+2)<0$$ и $$x^2+x<2$$;
3. $$(x-2)(x+1)<3x+3$$ и $$x-2<3$$;
4. $$x(x+3)\geq 2x$$ и $$x^2(x+3)\geq 2x^2$$?

1. $$2x-1\ge 2$$

   $$2x\ge 3$$

   $$x\ge \frac{3}{2}$$

   $$2(x-1)\ge 1$$

   $$2x-2\ge 1$$

   $$2x\ge 3$$

   $$x\ge \frac{3}{2}$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

2. $$\left(x-1\right)\left(x+2\right)<0$$

   По методу интервалов получаем:

   $$-2<x<1$$

   $$x^2+x<2$$

   $$x^2+x-2<0$$

   $$\left(x+2\right)\left(x-1\right)<0$$

   Отсюда:

   $$-2<x<1$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

3. $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)<3x+3$$

   $$x^2-x-2<3x+3$$

   $$x^2-4x-5<0$$

   $$\left(x-5\right)\left(x+1\right)<0$$

   Отсюда:

   $$-1<x<5$$

   Второе неравенство:

   $$x-2<3$$

   $$x<5$$

   Множества решений разные, значит, неравенства неравносильны.

4. $$x(x+3)\ge 2x$$

   $$x^2+3x-2x\ge 0$$

   $$x^2+x\ge 0$$

   $$x(x+1)\ge 0$$

   Отсюда:

   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 0$$

   Второе неравенство:

   $$x^2(x+3)\ge 2x^2$$

   $$x^2(x+3-2)\ge 0$$

   $$x^2(x+1)\ge 0$$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то достаточно:

   $$x+1\ge 0$$

   $$x\ge -1$$

   Следовательно, неравенства неравносильны.

Ответ: 1) равносильны; 2) равносильны; 3) неравносильны; 4) неравносильны.