Упр.1399 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. При каком наибольшем целом значении $$x$$ выражение $$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}$$ принимает положительное значение?

Рассмотрим неравенство

$$\frac{x^2-x-6}{-7-x^2}>0.$$

Преобразуем знаменатель:

$$-7-x^2=-(x^2+7).$$

Так как $$x^2+7>0$$ при любом $$x$$, то знак дроби определяется только числителем с учётом минуса в знаменателе. Получаем:

$$\frac{x^2-x-6}{x^2+7}<0.$$

Следовательно, нужно решить неравенство

$$x^2-x-6<0.$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-x-6=(x-3)(x+2).$$

Тогда

$$(x-3)(x+2)<0,$$

откуда

$$-2<x<3.$$

Наибольшее целое значение $$x$$, удовлетворяющее этому промежутку, равно $$2$$.

Ответ: $$2$$.