Упр.1391 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1391. Решить неравенство (1391—1394).

1) $$\frac{5x+4}{x-3}<4$$

Перенесём $$4$$ в левую часть:

$$\frac{5x+4-4(x-3)}{x-3}<0$$

$$\frac{x+16}{x-3}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$\begin{cases} x+16>0 \\ x-3<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+16<0 \\ x-3>0 \end{cases}$$

Второй случай решений не имеет, а из первого получаем:

$$x>-16,\quad x<3$$

Следовательно,

$$x\in(-16;3).$$

2) $$\frac{2}{x-4}<1$$

Перенесём $$1$$ в левую часть:

$$\frac{2-(x-4)}{x-4}<0$$

$$\frac{6-x}{x-4}<0$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$\begin{cases} 6-x>0 \\ x-4<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 6-x<0 \\ x-4>0 \end{cases}$$

Отсюда:

$$x<6,\quad x<4$$

или

$$x>6,\quad x>4$$

Значит,

$$x\in(-\infty;4)\cup(6;+\infty).$$

3) $$\frac{2}{x+3}\le 4$$

Перенесём $$4$$ в левую часть:

$$\frac{2-4(x+3)}{x+3}\le 0$$

$$\frac{-4x-10}{x+3}\le 0$$

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя:

$$\begin{cases} -4x-10\le 0 \\ x+3>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} -4x-10\ge 0 \\ x+3<0 \end{cases}$$

Получаем:

$$x\ge -2{,}5,\quad x>-3$$

или

$$x\le -2{,}5,\quad x<-3$$

Следовательно,

$$x\in(-\infty;-3)\cup[-2{,}5;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-16;3)$$

2) $$x\in(-\infty;4)\cup(6;+\infty)$$

3) $$x\in(-\infty;-3)\cup[-2{,}5;+\infty)$$