Упр.1390 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ отрицательна дробь:

1) Рассмотрим дробь $$\frac{3-2x}{3x-2}.$$

Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$\begin{cases} 3-2x>0,\\ 3x-2<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3-2x<0,\\ 3x-2>0 \end{cases}$$

Из первого случая получаем:

$$x<\frac{3}{2}, \qquad x<\frac{2}{3}$$

Значит, $$x<\frac{2}{3}.$$

Из второго случая получаем:

$$x>\frac{3}{2}, \qquad x>\frac{2}{3}$$

Значит, $$x>\frac{3}{2}.$$

Итак,

$$x\in\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right).$$

2) Рассмотрим дробь $$\frac{10-4x}{9x+2}.$$

Она отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков:

$$\begin{cases} 10-4x>0,\\ 9x+2<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 10-4x<0,\\ 9x+2>0 \end{cases}$$

Первый случай:

$$x<\frac{5}{2}, \qquad x<-\frac{2}{9}$$

Значит, $$x<-\frac{2}{9}.$$

Второй случай:

$$x>\frac{5}{2}, \qquad x>-\frac{2}{9}$$

Значит, $$x>\frac{5}{2}.$$

Итак,

$$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{9}\right)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right).$$

3) Рассмотрим дробь $$\frac{18-7x}{-4x^2-1}.$$

Знаменатель $$-4x^2-1$$ всегда отрицателен при любых $$x$$, так как $$4x^2+1>0.$$

Чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть положительным:

$$18-7x>0$$

$$x<\frac{18}{7}$$

Следовательно,

$$x\in\left(-\infty;\frac{18}{7}\right).$$

Ответ

1) $$x\in\left(-\infty;\frac{2}{3}\right)\cup\left(\frac{3}{2};+\infty\right)$$
2) $$x\in\left(-\infty;-\frac{2}{9}\right)\cup\left(\frac{5}{2};+\infty\right)$$
3) $$x\in\left(-\infty;\frac{18}{7}\right)$$