Упр.139 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Равносильны ли следующие уравнения:

1. $$3x-7=5x+5$$ и $$2x+12=0$$;
2. $$\frac{1}{5}(2x-1)=1$$ и $$\frac{3x-1}{8}=1$$;
3. $$x^2-3x+2=0$$ и $$x^2+3x+2=0$$;
4. $$(x-5)^2=3(x-5)$$ и $$x-5=3$$;
5. $$x^2-1=0$$ и $$2^{x-1}=0$$;
6. $$|x-2|=-3$$ и $$3^x=(-1)^3$$.

1) Преобразуем первое уравнение:

$$3x-7=5x+5$$

$$3x-5x=5+7$$

$$-2x=12$$

$$x=-6$$

Второе уравнение:

$$2x+12=0$$

$$2x=-12$$

$$x=-6$$

Следовательно, уравнения равносильны.

2) Решим первое уравнение:

$$\frac{1}{5}(2x-1)=1$$

$$2x-1=5$$

$$2x=6$$

$$x=3$$

Решим второе уравнение:

$$\frac{3x-1}{8}=1$$

$$3x-1=8$$

$$3x=9$$

$$x=3$$

Следовательно, уравнения равносильны.

3) Решим первое уравнение:

$$x^2-3x+2=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$

$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,\quad x_2=\frac{3+1}{2}=2$$

Решим второе уравнение:

$$x^2+3x+2=0$$

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$

$$x_1=\frac{-3-1}{2}=-2,\quad x_2=\frac{-3+1}{2}=-1$$

Корни разные, значит, уравнения не равносильны.

4) Решим первое уравнение:

$$\left(x-5\right)^2=3(x-5)$$

$$x^2-10x+25=3x-15$$

$$x^2-13x+40=0$$

$$D=13^2-4\cdot 40=169-160=9$$

$$x_1=\frac{13-3}{2}=5,\quad x_2=\frac{13+3}{2}=8$$

Решим второе уравнение:

$$x-5=3$$

$$x=8$$

Первое уравнение имеет корни $$x=5$$ и $$x=8$$, а второе — только $$x=8$$, значит, уравнения не равносильны.

5) Решим первое уравнение:

$$x^2-1=0$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm 1$$

Решим второе уравнение:

$$2^{x-1}=0$$

Показательная функция $$2^{x-1}$$ всегда положительна, поэтому действительных корней нет.

Следовательно, уравнения не равносильны.

6) Рассмотрим первое уравнение:

$$|x-2|=-3$$

Модуль не может быть отрицательным, значит, действительных корней нет.

Рассмотрим второе уравнение:

$$3^x=(-1)^3$$

$$3^x=-1$$

Но $$3^x>0$$ при любом действительном $$x$$, поэтому действительных корней нет.

Оба уравнения не имеют решений, значит, они равносильны.

Ответ

1) равносильны; 2) равносильны; 3) не равносильны; 4) не равносильны; 5) не равносильны; 6) равносильны.