Упр.1389 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ положительна дробь:

1) $$\frac{5x-4}{7x+5}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$\begin{cases} 5x-4>0\\ 7x+5>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x>\frac45$$

или

$$\begin{cases} 5x-4<0\\ 7x+5<0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad x<-\frac57$$

Ответ: $$x\in\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(\frac45;+\infty\right).$$

2) $$\frac{3x+10}{40-x}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$\begin{cases} 3x+10>0\\ 40-x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>-\frac{10}{3}\\ x<40 \end{cases}$$

Значит,

$$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$

Ответ: $$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$

3) $$\frac{x+2}{5-4x}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$\begin{cases} x+2>0\\ 5-4x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x>-2\\ x<\frac54 \end{cases}$$

Следовательно,

$$x\in\left(-2;\frac54\right).$$

Ответ: $$x\in\left(-2;\frac54\right).$$

4) $$\frac{8-x}{6+3x}>0$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:

$$\begin{cases} 8-x>0\\ 6+3x>0 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x<8\\ x>-2 \end{cases}$$

Значит,

$$x\in(-2;8).$$

Ответ: $$x\in(-2;8).$$