Упр.1389 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1389 При каких значениях х положительна дробь:

Подробный ответ

$$\frac{5x-4}{7x+5}>0$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$ \begin{cases} 5x-4>0 \\ 7x+5>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 5x-4<0 \\ 7x+5<0 \end{cases} $$
$$x>\frac45$$
$$x>-\frac57$$
Получаем:
$$x>\frac45$$
или
$$x<-\frac57$$
Значит,
$$x\in\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(\frac45;+\infty\right).$$
$$\frac{3x+10}{40-x}>0$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$ \begin{cases} 3x+10>0 \\ 40-x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 3x+10<0 \\ 40-x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>-\frac{10}{3} \\ x<40 \end{cases} \Rightarrow x\in\left(-\frac{10}{3};40\right) $$
Во втором случае:
$$ \begin{cases} x<-\frac{10}{3} \\ x>40 \end{cases} $$
Решений нет.
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac{10}{3};40\right).$$
$$\frac{x+2}{5-4x}>0$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$ \begin{cases} x+2>0 \\ 5-4x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x+2<0 \\ 5-4x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x>-2 \\ x<\frac54 \end{cases} \Rightarrow x\in\left(-2;\frac54\right) $$
Во втором случае:
$$ \begin{cases} x<-2 \\ x>\frac54 \end{cases} $$
Решений нет.
Следовательно,
$$x\in\left(-2;\frac54\right).$$
$$\frac{8-x}{6+3x}>0$$
Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака:
$$ \begin{cases} 8-x>0 \\ 6+3x>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} 8-x<0 \\ 6+3x<0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x<8 \\ x>-2 \end{cases} \Rightarrow x\in(-2;8) $$
Во втором случае:
$$ \begin{cases} x>8 \\ x<-2 \end{cases} $$
Решений нет.
Следовательно,
$$x\in(-2;8).$$