Упр.1385 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg} 2x = 3\operatorname{tg} x$$
2. $$\operatorname{ctg} 2x = 2\operatorname{ctg} x$$
3. $$\operatorname{tg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+\operatorname{tg}\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=2$$
4. $$\operatorname{tg}(2x+1)\operatorname{ctg}(x+1)=1$$

1) $$\tg 2x=3\tg x$$

Используем формулу $$\tg 2x=\dfrac{2\tg x}{1-\tg^2 x}$$:

$$\dfrac{2\tg x}{1-\tg^2 x}=3\tg x$$

$$2\tg x=3\tg x(1-\tg^2 x)$$

$$2\tg x=3\tg x-3\tg^3 x$$

$$3\tg^3 x-\tg x=0$$

$$\tg x(3\tg^2 x-1)=0$$

Отсюда:

$$\tg x=0 \quad \text{или} \quad \tg^2 x=\dfrac13.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\pm \dfrac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\ctg 2x=2\ctg x$$

Запишем через синус и косинус:

$$\dfrac{\cos 2x}{\sin 2x}=\dfrac{2\cos x}{\sin x}$$

$$\cos 2x\cdot \sin x=2\cos x\cdot \sin 2x$$

$$\cos 2x\cdot \sin x=4\sin x\cos^2 x$$

$$\sin x(\cos 2x-4\cos^2 x)=0$$

$$\sin x\bigl((\cos^2 x-\sin^2 x)-4\cos^2 x\bigr)=0$$

$$\sin x(-3\cos^2 x-\sin^2 x)=0.$$

Так как $$3\cos^2 x+\sin^2 x>0,$$ то решений нет.

3) $$\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)+\tg\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=2$$

Пусть $$t=\tg x.$$ Тогда

$$\tg\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{t+1}{1-t},\qquad \tg\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{t-1}{1+t}.$$

Получаем:

$$\dfrac{t+1}{1-t}+\dfrac{t-1}{1+t}=2$$

$$\dfrac{(t+1)(1+t)+(t-1)(1-t)}{1-t^2}=2$$

$$\dfrac{2t^2+2}{1-t^2}=2$$

$$2t^2+2=2-2t^2$$

$$4t^2=0$$

$$t=0.$$

Значит,

$$\tg x=0 \Rightarrow x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\tg(2x+1)\ctg(x+1)=1$$

Так как $$\ctg(x+1)=\dfrac{1}{\tg(x+1)},$$ то

$$\tg(2x+1)=\tg(x+1).$$

Тогда

$$2x+1=x+1+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=\pi n,\ \pm\dfrac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) решений нет; 3) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.