Упр.1384 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\operatorname{tg}^2 3x-4\sin^2 3x=0$$
2. $$\sin x\operatorname{tg}x=\cos x+\operatorname{tg}x$$
3. $$\operatorname{ctg}x\left(\operatorname{ctg}x+\frac{1}{\sin x}\right)=1$$
4. $$4\operatorname{ctg}^2x=5-\frac{9}{\sin x}$$

1) $$\tg^2 3x-4\sin^2 3x=0$$

$$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}-4\sin^2 3x=0$$

$$\sin^2 3x\left(\frac{1}{\cos^2 3x}-4\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \frac{1}{\cos^2 3x}=4.$$

1) $$\sin 3x=0 \Rightarrow 3x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,\quad x=\frac{\pi n}{3}.$$

2) $$\cos^2 3x=\frac14 \Rightarrow \cos 3x=\pm \frac12.$$

Тогда

$$3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z,\quad x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{3},\; x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x\,\tg x=\cos x+\tg x$$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos x}=\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x=0,$$

$$\sin^2 x-(1-\sin^2 x)-\sin x=0,$$

$$2\sin^2 x-\sin x-1=0.$$

Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

$$2y^2-y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1.$$

Получаем:

$$\sin x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$

Но $$\sin x=1$$ не подходит, так как при этом $$\cos x=0$$ и исходное выражение не имеет смысла.

Значит,

$$\sin x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

3) $$\ctg x\left(\ctg x+\frac{1}{\sin x}\right)=1$$

$$\frac{\cos x}{\sin x}\left(\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}\right)=1$$

$$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin^2 x}=1,$$

$$\cos^2 x+\cos x-\sin^2 x=0,$$

$$\cos^2 x+\cos x-(1-\cos^2 x)=0,$$

$$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$

Пусть $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+y-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$

Получаем:

$$\cos x=-1 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$

1) $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Но при $$x=\pi+2\pi n$$ и $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n$$ условие $$\sin x\ne 0$$ выполняется.

Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

4) $$4\ctg^2 x=5-\frac{9}{\sin x}$$

$$4\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=5-\frac{9}{\sin x}$$

Умножим на $$\sin^2 x$$:

$$4\cos^2 x=5\sin^2 x-9\sin x.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем

$$4(1-\sin^2 x)=5\sin^2 x-9\sin x,$$

$$9\sin^2 x-9\sin x-4=0.$$

Пусть $$t=\sin x$$. Тогда

$$9t^2-9t-4=0,$$

$$D=81+144=225,$$

$$t_{1,2}=\frac{9\pm 15}{18}.$$

Отсюда

$$t_1=\frac43,\qquad t_2=-\frac13.$$

Значение $$\sin x=\frac43$$ невозможно, поэтому

$$\sin x=-\frac13.$$

Тогда

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$