Упр.1384 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sinxtgx=cosx+tgx;
3) ctgx(ctgx+1/sinx)=1;
4) 4ctg2 x=5 — 9/sinx.

1. $$\tg^2 3x-4\sin^2 3x=0$$
   $$\frac{\sin^2 3x}{\cos^2 3x}-4\sin^2 3x=0$$
   $$\sin^2 3x-4\sin^2 3x\cos^2 3x=0$$
   $$\sin^2 3x\,(1-4\cos^2 3x)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=\pm \frac12.$$
   Тогда
   $$3x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$3x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Значит,
   $$x=\frac{\pi n}{3},\quad x=\pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\sin x\,\tg x=\cos x+\tg x$$
   $$\sin x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}$$
   $$\frac{\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x}{\cos x}=0$$
   $$2\sin^2 x-\sin x-1=0,\qquad \cos x\ne 0.$$
   Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда
   $$2y^2-y-1=0,$$
   $$y_1=1,\quad y_2=-\frac12.$$
   Проверяем:
   $$\sin x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
   но при этом $$\cos x=0,$$ значит, это не подходит.
   Для второго корня:
   $$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\ctg x\left(\ctg x+\frac1{\sin x}\right)=1$$
   $$\frac{\cos x}{\sin x}\left(\frac{\cos x}{\sin x}+\frac1{\sin x}\right)=1$$
   $$\frac{\cos^2 x+\cos x}{\sin^2 x}=1$$
   $$\cos^2 x+\cos x-\sin^2 x=0$$
   $$2\cos^2 x+\cos x-1=0.$$
   Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда
   $$2y^2+y-1=0,$$
   $$y_1=-1,\quad y_2=\frac12.$$
   Получаем:
   $$\cos x=-1 \Rightarrow x=\pi+2\pi n,$$
   $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n.$$
   С учётом области определения $$\sin x\ne 0$$ остаётся
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$4\ctg^2 x=5-\frac9{\sin x}$$
   $$4\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=5-\frac9{\sin x}$$
   $$4\cos^2 x=5\sin^2 x-9\sin x,$$
   $$4-4\sin^2 x=5\sin^2 x-9\sin x,$$
   $$9\sin^2 x-9\sin x-4=0.$$
   Пусть $$y=\sin x.$$ Тогда
   $$9y^2-9y-4=0,$$
   $$y_1=\frac43,\quad y_2=-\frac13.$$
   Корень $$\frac43$$ не подходит, так как $$|\sin x|\le 1.$$
   Тогда
   $$\sin x=-\frac13,$$
   откуда
   $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \pm \frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac13+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$