Упр.1381 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x \sin 9x=\cos 3x \sin 7x$$
2. $$\sin x \cos 5x=\sin 9x \cos 3x$$

1) Преобразуем произведения в суммы:

$$\cos x\sin 9x=\frac12(\sin 10x+\sin 8x),$$

$$\cos 3x\sin 7x=\frac12(\sin 10x+\sin 4x).$$

Тогда

$$\sin 10x+\sin 8x=\sin 10x+\sin 4x,$$

$$\sin 8x-\sin 4x=0.$$

По формуле разности синусов:

$$2\cos 6x\sin 2x=0.$$

Следовательно,

$$\cos 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

1) $$\cos 6x=0 \Rightarrow 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}.$$

2) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

2) Преобразуем произведения в суммы:

$$\sin x\cos 5x=\frac12(\sin 6x-\sin 4x),$$

$$\sin 9x\cos 3x=\frac12(\sin 12x+\sin 6x).$$

Тогда

$$\sin 6x-\sin 4x=\sin 12x+\sin 6x,$$

$$-\sin 4x=\sin 12x,$$

$$\sin 12x+\sin 4x=0.$$

По формуле суммы синусов:

$$2\sin 8x\cos 4x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

1) $$\sin 8x=0 \Rightarrow 8x=\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{8}.$$

2) $$\cos 4x=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\; x=\frac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{8},\; x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; n\in\mathbb Z.$$