Упр.1379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 5x-\sin 3x$$
2. $$\cos 6x+\cos 2x=0$$
3. $$\sin 3x+\cos 7x=0$$
4. $$\sin x=\cos 5x$$

1) $$\sin 5x-\sin 3x=0$$

$$2\sin\frac{5x-3x}{2}\cos\frac{5x+3x}{2}=0$$

$$2\sin x\cos 4x=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\cos 6x+\cos 2x=0$$

$$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2}=0$$

$$2\cos 4x\cos 2x=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\sin 3x+\cos 7x=0$$

$$\sin 3x+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7x\right)=0$$

$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}+5x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$\frac{\pi}{4}+2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin x=\cos 5x$$

$$\sin x-\cos 5x=0$$

$$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$

$$2\cos\left(\frac{x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}\right)=0$$

$$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{4}-2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$

или

$$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ:

1) $$x=\pi n$$ или $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}$$ или $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$