Упр.1379 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos 6x + cos 2x = 0;
3) sin 3x + cos 7x = 0;
4) sin x = cos 5x.

1. $$\sin 5x-\sin 3x=0$$
   $$2\sin\frac{5x-3x}{2}\cos\frac{5x+3x}{2}=0$$
   $$2\sin x\cos 4x=0$$
   Отсюда:
   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0.$$
   Тогда
   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
2. $$\cos 6x+\cos 2x=0$$
   $$2\cos\frac{6x+2x}{2}\cos\frac{6x-2x}{2}=0$$
   $$2\cos 4x\cos 2x=0$$
   Отсюда:
   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0.$$
   Тогда
   $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
3. $$\sin 3x+\cos 7x=0$$
   $$\sin 3x+\sin\left(\frac{\pi}{2}+7x\right)=0$$
   $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(\frac{\pi}{4}+2x\right)=0.$$
   Тогда
   $$\frac{\pi}{4}+5x=\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$\frac{\pi}{4}+2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
4. $$\sin x=\cos 5x$$
   $$\sin x-\cos 5x=0$$
   $$\sin x-\sin\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)=0$$
   $$2\cos\left(\frac{x+\frac{\pi}{2}-5x}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-5x\right)}{2}\right)=0$$
   $$2\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)\sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0$$
   Отсюда:
   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=0.$$
   Тогда
   $$\frac{\pi}{4}-2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,$$
   $$3x-\frac{\pi}{4}=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

3) $$x=-\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{5},\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

4) $$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$