Упр.1378 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 3 sin2 x — 2 sin x cos x = 1.

1. $$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=3$$

   Перенесём $3$ в левую часть и используем $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:

   $$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x-3=0$$

   $$4\sin^2 x-3\sin^2 x-3\cos^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=0$$

   $$\sin^2 x-8\sin x\cos x+7\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-8\tg x+7=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-8y+7=0$$

   $$D=64-28=36$$

   $$y_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$

   $$y_1=1,\quad y_2=7$$

   Тогда

   $$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$\tg x=7 \Rightarrow x=\arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x=1$$

   Перенесём $1$ в левую часть и заменим $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$:

   $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$

   $$2\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

   Делим на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x-2\tg x-1=0$$

   Пусть $$y=\tg x$$. Тогда

   $$2y^2-2y-1=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=4+8=12$$

   $$y_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}$$

   Следовательно,

   $$\tg x=\frac{1\pm\sqrt3}{2}$$

   $$x=\arctg\frac{1\pm\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$x=\arctg\frac{1\pm\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$