Упр.1378 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=3$$
- $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x=1$$
1) $$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=3$$
Перенесём $$3$$ в левую часть и воспользуемся тождеством $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$4\sin^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x-3=0$$
$$4\sin^2 x-3\sin^2 x-3\cos^2 x-8\sin x\cos x+10\cos^2 x=0$$
$$\sin^2 x-8\sin x\cos x+7\cos^2 x=0$$
Так как $$\cos x\neq 0$$, разделим уравнение на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x-8\tg x+7=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2-8y+7=0$$
$$D=64-28=36$$
$$y_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$y_1=1,\quad y_2=7$$
Следовательно,
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=7 \Rightarrow x=\arctg 7+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
2) $$3\sin^2 x-2\sin x\cos x=1$$
Перенесём $$1$$ в левую часть и заменим $$1$$ на $$\sin^2 x+\cos^2 x$$:
$$3\sin^2 x-2\sin x\cos x-\sin^2 x-\cos^2 x=0$$
$$2\sin^2 x-2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$
Разделим на $$\cos^2 x$$:
$$2\tg^2 x-2\tg x-1=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$2y^2-2y-1=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 2\cdot(-1)=12$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{4}=\frac{1\pm\sqrt3}{2}$$
Значит,
$$\tg x=\frac{1+\sqrt3}{2}\Rightarrow x=\arctg\frac{1+\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$\tg x=\frac{1-\sqrt3}{2}\Rightarrow x=\arctg\frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Ответ: 1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 7+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\arctg\frac{1+\sqrt3}{2}+\pi n,\ \arctg\frac{1-\sqrt3}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
