Упр.1377 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 2 + cos2 x + 3 sin x cos x = sin2 x.

1. $$\sin^3 x \cos x+\cos^3 x \sin x=\cos 2x$$

   Вынесем $$\sin x\cos x$$ за скобки:
   $$\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем
   $$\sin x\cos x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$

   Перенесём всё в одну сторону и разделим на $$\cos^2 x$$:
   $$ \sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x=0, $$
   $$ \tg^2 x+\tg x-1=0. $$

   Обозначим $$\tg x=t.$$ Тогда
   $$ t^2+t-1=0. $$
   $$ D=1+4=5, $$
   $$ t=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}. $$

   Следовательно,
   $$ x=\arctg\frac{-1+\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
   $$ x=\arctg\frac{-1-\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. $$2+\cos^2 x+3\sin x\cos x=\sin^2 x$$

   Перенесём всё в одну сторону:
   $$ 2+\cos^2 x-\sin^2 x+3\sin x\cos x=0. $$

   Используем $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:
   $$ 2+\cos^2 x-(1-\cos^2 x)+3\sin x\cos x=0, $$
   $$ 3\cos^2 x+\sin^2 x+3\sin x\cos x=0. $$

   Делим на $$\cos^2 x$$:
   $$ 3+\tg^2 x+3\tg x=0. $$

   Пусть $$\tg x=t.$$ Тогда
   $$ t^2+3t+3=0. $$
   $$ D=9-12=-3<0. $$
   Действительных корней нет.

Ответ

1) $$x=\arctg\frac{-1+\sqrt5}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z;\quad x=\arctg\frac{-1-\sqrt5}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) Решений нет.