Упр.1377 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^3 x\cos x+\cos^3 x\sin x=\cos 2x$$
2. $$2+\cos^2 x+3\sin x\cos x=\sin^2 x$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^3 x\cos x+\cos^3 x\sin x=\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin x\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\sin x\cos x=\cos 2x.$$

Используем формулы $$\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$ Удобнее перейти к тангенсу:

$$\sin x\cos x(\sin^2 x+\cos^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x,$$

$$\sin^2 x-\cos^2 x+\sin x\cos x=0,$$

$$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+\frac{\sin x}{\cos x}-1=0,$$

$$\tg^2 x+\tg x-1=0.$$

Пусть $$\tg x=a.$$ Тогда

$$a^2+a-1=0.$$

$$D=1+4=5,$$

$$a_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Следовательно,

$$x=\arctg\frac{-1+\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\arctg\frac{-1-\sqrt5}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$2+\cos^2 x+3\sin x\cos x=\sin^2 x,$$

$$2\cos^2 x+2\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x+3\sin x\cos x=0,$$

$$3\cos^2 x+\sin^2 x+3\sin x\cos x=0.$$

Делим на $$\cos^2 x$$:

$$3+\tg^2 x+3\tg x=0.$$

Пусть $$\tg x=a.$$ Тогда

$$a^2+3a+3=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 3=9-12=-3<0.$$

Действительных корней нет.

Ответ: 1) $$x=\arctg\frac{-1\pm\sqrt5}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) решений нет.