Упр.1376 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=\cos 2x$$
2. $$2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^4 x-\cos^4 x+2\cos^2 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)+2\cos^2 x$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем

$$\sin^2 x-\cos^2 x+2\cos^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$1=\cos 2x.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=1 \quad \Rightarrow \quad 2x=2\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

2) Преобразуем уравнение:

$$2\sin^2 x-\cos^4 x=1-\sin^4 x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\sin^2 x-1-\cos^4 x+\sin^4 x=0.$$

Используем формулу $$\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$2\sin^2 x-1-(\cos^2 x-\sin^2 x)=0.$$

Так как $$1=\sin^2 x+\cos^2 x$$, получаем

$$2\sin^2 x-\sin^2 x-\cos^2 x-\cos^2 x+\sin^2 x=0,$$

то есть

$$2\sin^2 x-2\cos^2 x=0.$$

Следовательно,

$$\cos 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z,$$

и значит

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb Z.$$