Упр.1375 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$
- $$2\sin^2 x+\sin^2 2x$$
- $$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt{3}$$
- $$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$
1) $$\sin^3 x+\cos^3 x=0$$
Разложим сумму кубов на множители:
$$(\sin x+\cos x)(\sin^2 x-\sin x\cos x+\cos^2 x)=0$$
$$(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)=0$$
Тогда
$$\sin x+\cos x=0$$
или
$$1-\sin x\cos x=0.$$
Из первого уравнения:
$$\tg x=-1,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Из второго уравнения:
$$\sin x\cos x=1.$$
Но $$|\sin x\cos x|\le \frac12,$$ значит, решений нет.
Итак,
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$2\sin^2 x+\sin^2 2x=2$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin^2 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2$$
$$2\sin^2 x+4\sin^2 x(1-\sin^2 x)=2$$
$$2\sin^4 x-3\sin^2 x+1=0$$
Положим $$y=\sin^2 x$$. Тогда
$$2y^2-3y+1=0,$$
$$(2y-1)(y-1)=0$$
Отсюда
$$y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1.$$
1) Если $$\sin^2 x=\frac12,$$ то
$$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2},$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2) Если $$\sin^2 x=1,$$ то
$$\sin x=\pm 1,$$
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\quad \text{или}\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$8\sin x\cos 2x\cos x=\sqrt3$$
Преобразуем левую часть:
$$8\sin x\cos x\cos 2x=4\sin 2x\cos 2x=2\sin 4x$$
Тогда
$$2\sin 4x=\sqrt3,$$
$$\sin 4x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Отсюда
$$4x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
и значит
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$4\sin x\cos x\cos 2x=\cos 4x$$
Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:
$$2\sin 2x\cos 2x=\cos 4x$$
$$\sin 4x=\cos 4x$$
$$\tg 4x=1$$
$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\ \text{или}\ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\ n\in\mathbb Z.$$
