Упр.1371 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) 6 sin x + 5 cosx = 6.

1. $$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{3}$$

   Перенесём всё в одну сторону и выразим через $$\sin x$$ и $$\cos x$$:

   $$ \sqrt{3}(\sin 2x-1)-\cos 2x=0 $$
   $$ \sqrt{3}(2\sin x\cos x-\cos^2 x-\sin^2 x)-(\cos^2 x-\sin^2 x)=0 $$
   $$ -\sqrt{3}(\cos x-\sin x)^2-(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0 $$
   $$ (\cos x-\sin x)\bigl(\sqrt{3}(\cos x-\sin x)+\cos x+\sin x\bigr)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos x-\sin x=0 $$
   или
   $$ \sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\sin x+\cos x+\sin x=0. $$

   1) $$\cos x-\sin x=0$$, тогда
   $$ 1-\tg x=0,\qquad \tg x=1, $$
   значит
   $$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   2) $$\cos x(\sqrt{3}+1)-\sin x(\sqrt{3}-1)=0$$, тогда
   $$ (\sqrt{3}+1)-\tg x(\sqrt{3}-1)=0, $$
   откуда
   $$ \tg x=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}. $$
   Следовательно,
   $$ x=\arctg\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

2. $$6\sin x+5\cos x=6$$

   Используем формулы половинного угла:

   $$ 12\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+5\cos^2\frac{x}{2}-5\sin^2\frac{x}{2} =6\cos^2\frac{x}{2}+6\sin^2\frac{x}{2} $$
   $$ 12\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}-\cos^2\frac{x}{2}-11\sin^2\frac{x}{2}=0 $$

   При $$\cos\frac{x}{2}\neq 0$$ делим на $$\cos^2\frac{x}{2}$$:

   $$ 12\tg\frac{x}{2}-1-11\tg^2\frac{x}{2}=0. $$

   Пусть $$y=\tg\frac{x}{2}$$. Тогда
   $$ 11y^2-12y+1=0. $$
   Дискриминант:
   $$ D=12^2-4\cdot 11=100. $$
   Тогда
   $$ y_{1,2}=\frac{12\pm 10}{22}, $$
   то есть
   $$ y_1=1,\qquad y_2=\frac{1}{11}. $$

   Значит,
   $$ \tg\frac{x}{2}=1 \quad \text{или} \quad \tg\frac{x}{2}=\frac{1}{11}. $$
   Отсюда:
   $$ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \quad \text{или} \quad \frac{x}{2}=\arctg\frac{1}{11}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

   Умножая на 2, получаем:
   $$ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n $$
   или
   $$ x=2\arctg\frac{1}{11}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctg\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=2\arctg\frac{1}{11}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$