Упр.1370 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin4x/3 + cos4x/3=5/8.

1. $$4\sin^4 x+\sin^2 2x=2$$

   Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

   $$4\sin^4 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2$$

   Вынесем общий множитель:

   $$4\sin^2 x(\sin^2 x+\cos^2 x)=2$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, получаем:

   $$4\sin^2 x=2$$

   $$\sin^2 x=\frac12$$

   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt2}{2}$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\frac58$$

   Преобразуем левую часть:

   $$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}$$

   Так как $$\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}=1$$, то

   $$1-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac58$$

   Используем формулу $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$$:

   $$1-\frac12\sin^2\frac{2x}{3}=\frac58$$

   $$\frac12\sin^2\frac{2x}{3}=\frac38$$

   $$\sin^2\frac{2x}{3}=\frac34$$

   $$\sin\frac{2x}{3}=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{2x}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   откуда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$