Упр.1370 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$4\sin^4 x+\sin^2 2x=2$$
2. $$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\frac{5}{8}$$

1) $$4\sin^4 x+\sin^2 2x=2$$

Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$4\sin^4 x+4\sin^2 x\cos^2 x=2$$

$$4\sin^2 x\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)=2$$

$$4\sin^2 x=2$$

$$\sin^2 x=\frac12$$

$$\sin x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\frac58$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin^4\frac{x}{3}+\cos^4\frac{x}{3}=\left(\sin^2\frac{x}{3}+\cos^2\frac{x}{3}\right)^2-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}$$

$$=1-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}$$

Тогда

$$1-2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac58$$

$$2\sin^2\frac{x}{3}\cos^2\frac{x}{3}=\frac38$$

$$\sin^2\frac{2x}{3}=\frac34$$

$$\sin\frac{2x}{3}=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

Следовательно,

$$\frac{2x}{3}=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: 1) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{2}+\frac{3\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$.