Упр.137 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- На одном рисунке построить график данной функции и функции, обратной данной; найти область определения и множество значений каждой из них:
а) $$y=3x-1$$;
б) $$y=\frac{2x-1}{3}$$;
в) $$y=x^2-1$$ при $$x\geqslant 0$$;
г) $$y=(x-1)^2$$ при $$x\geqslant 1$$;
д) $$y=x^3-2$$;
е) $$y=(x-1)^3$$;
ж) $$y=\sqrt{x-1}$$;
з) $$y=\sqrt{x}+1$$.
1) Для функции $$y=3x-1$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём обратную функцию:
$$x=3y-1$$
$$3y=x+1$$
$$y=\frac{x+1}{3}.$$
Для неё также:
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$
2) Для функции $$y=\frac{2x-1}{3}$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём обратную функцию:
$$x=\frac{2y-1}{3}$$
$$3x=2y-1$$
$$2y=3x+1$$
$$y=\frac{3x+1}{2}.$$
Для неё:
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$
3) Для функции $$y=x^2-1,\quad x\ge 0$$
Область определения: $$D(y)=[0;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[-1;+\infty).$$
Найдём обратную функцию:
$$x=y^2-1$$
$$y^2=x+1$$
$$y=\sqrt{x+1}.$$
Для неё:
$$D(y)=[-1;+\infty), \qquad E(y)=[0;+\infty).$$
4) Для функции $$y=(x-1)^2,\quad x\ge 1$$
Область определения: $$D(y)=[1;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Найдём обратную функцию:
$$x=(y-1)^2$$
$$\sqrt{x}=y-1$$
$$y=\sqrt{x}+1.$$
Для неё:
$$D(y)=[0;+\infty), \qquad E(y)=[1;+\infty).$$
5) Для функции $$y=x^3-2$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём обратную функцию:
$$x=y^3-2$$
$$y^3=x+2$$
$$y=\sqrt[3]{x+2}.$$
Для неё:
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$
6) Для функции $$y=(x-1)^3$$
Область определения: $$D(y)=\mathbb{R}.$$
Множество значений: $$E(y)=\mathbb{R}.$$
Найдём обратную функцию:
$$x=(y-1)^3$$
$$\sqrt[3]{x}=y-1$$
$$y=\sqrt[3]{x}+1.$$
Для неё:
$$D(y)=\mathbb{R}, \qquad E(y)=\mathbb{R}.$$
7) Для функции $$y=\sqrt{x-1}$$
Область определения: $$D(y)=[1;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$
Найдём обратную функцию:
$$x=\sqrt{y-1}$$
$$x^2=y-1$$
$$y=x^2+1.$$
Для неё:
$$D(y)=[0;+\infty), \qquad E(y)=[1;+\infty).$$
8) Для функции $$y=\sqrt{x}+1$$
Область определения: $$D(y)=[0;+\infty).$$
Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty).$$
Найдём обратную функцию:
$$x=\sqrt{y}+1$$
$$\sqrt{y}=x-1$$
$$y=(x-1)^2.$$
Для неё:
$$D(y)=[1;+\infty), \qquad E(y)=[0;+\infty).$$
Ответ
1) $$y=\frac{x+1}{3}$$; 2) $$y=\frac{3x+1}{2}$$; 3) $$y=\sqrt{x+1}$$; 4) $$y=\sqrt{x}+1$$; 5) $$y=\sqrt[3]{x+2}$$; 6) $$y=\sqrt[3]{x}+1$$; 7) $$y=x^2+1$$; 8) $$y=(x-1)^2$$.
