Упр.1368 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\cos x+\cos 2x=0$$

Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos x+\cos 2x=2\cos \frac{3x}{2}\cos \frac{x}{2}=0.$$

Тогда

$$\cos \frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=0.$$

Отсюда

$$\frac{3x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

$$\cos x-\cos 5x=0$$

Применим формулу разности косинусов:

$$\cos x-\cos 5x=-2\sin \frac{x+5x}{2}\sin \frac{x-5x}{2} =-2\sin 3x\sin(-2x)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0.$$

Тогда

$$3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3},$$

$$2x=\pi m \Rightarrow x=\frac{\pi m}{2},\quad n,m\in \mathbb Z.$$

$$\sin 3x+\sin x=2\sin 2x$$

Преобразуем левую часть по формуле суммы синусов:

$$\sin 3x+\sin x=2\sin \frac{3x+x}{2}\cos \frac{3x-x}{2} =2\sin 2x\cos x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin 2x\cos x=2\sin 2x,$$

$$2\sin 2x(\cos x-1)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$

Но решения $$\cos x=1$$ входят в множество решений $$\sin 2x=0$$, поэтому

$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

$$\sin x+\sin 2x+\sin 3x=0$$

Сгруппируем первые и третьи слагаемые:

$$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x.$$

Тогда

$$2\sin 2x\cos x+\sin 2x=0,$$

$$\sin 2x(2\cos x+1)=0.$$

Следовательно,

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac12.$$

Получаем

$$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$

$$\cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi m,\quad n,m\in \mathbb Z.$$