Упр.1367 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$\sin 2x=3\cos x$$
- $$\sin 4x=\cos 4x-\sin 4x$$
- $$2\cos 2x=1+4\sin 2x$$
- $$2\cos x+\cos 2x=2\sin x$$
1) $$\sin 2x=3\cos x$$
$$2\sin x\cos x=3\cos x$$
$$\cos x(2\sin x-3)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-3=0.$$
Во втором случае $$\sin x=\dfrac{3}{2}$$, что невозможно. Значит,
$$\cos x=0,$$
$$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin 4x=\cos^4 x-\sin^4 x$$
$$2\sin 2x\cos 2x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)$$
$$2\sin 2x\cos 2x=\cos 2x$$
$$\cos 2x(2\sin 2x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=\dfrac12.$$
1) $$\cos 2x=0$$, тогда
$$2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\sin 2x=\dfrac12$$, тогда
$$2x=(-1)^n\arcsin\dfrac12+\pi n=(-1)^n\dfrac{\pi}{6}+\pi n,$$
$$x=(-1)^n\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ:
$$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\quad \text{или} \quad x=(-1)^n\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$2\cos^2 x=1+4\sin 2x$$
$$2\cos^2 x-(\cos^2 x+\sin^2 x)=4\sin 2x$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=4\sin 2x$$
$$\cos 2x=4\sin 2x$$
Если $$\sin 2x\neq 0$$, то
$$\ctg 2x=4.$$
Следовательно,
$$2x=\operatorname{arcctg}4+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\dfrac12\operatorname{arcctg}4+\dfrac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$2\cos x+\cos 2x=2\sin x$$
$$2\cos x-2\sin x+\cos 2x=0$$
$$2(\cos x-\sin x)+(\cos^2 x-\sin^2 x)=0$$
$$2(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=0$$
$$(\cos x-\sin x)(2+\cos x+\sin x)=0$$
Отсюда:
$$\cos x-\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x+\sin x=0.$$
Во втором случае $$\cos x+\sin x=-2,$$ что невозможно. Значит,
$$\cos x-\sin x=0,$$
$$\tg x=1,$$
$$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ:
1) $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
2) $$x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}\ \text{или}\ x=(-1)^n\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
3) $$x=\dfrac12\operatorname{arcctg}4+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
