Упр.1366 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$
2. $$\sin 4x=\sin 2x$$
3. $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$
4. $$\sin 2x=\cos^2 x$$

1) $$\sin 2x=3\sin x\cos^2 x$$

$$2\sin x\cos x=3\sin x\cos^2 x$$

$$\sin x\cos x(2-3\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac23.$$

Тогда

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=\pm \arccos\frac23+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin 4x=\sin 2x$$

$$2\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$

$$\sin 2x(2\cos 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=\frac12.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos 2x+\cos^2 x=0$$

$$\cos^2 x-\sin^2 x+\cos^2 x=0$$

$$2\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0$$

$$3\cos^2 x=1$$

$$\cos x=\pm\frac{1}{\sqrt3}.$$

Тогда

$$x=\pm\arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin 2x=\cos^2 x$$

$$2\sin x\cos x-\cos^2 x=0$$

$$\cos x(2\sin x-\cos x)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\sin x-\cos x=0.$$

Первое уравнение даёт

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Во втором случае

$$\tan x=\frac12,$$

значит

$$x=\arctan\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\pi n,\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ \pm\arccos\frac23+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$x=\frac{\pi n}{2},\ \pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3) $$x=\pm\arccos\frac{1}{\sqrt3}+2\pi n,\ \pm\left(\pi-\arccos\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \arctan\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$