Упр.1365 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
- $$(3-4\sin x)(3+4\cos x)=0$$
- $$(\tg x+3)(\tg x+1)=0$$
1) Рассмотрим уравнение
$$\left(3-4\sin x\right)\left(3+4\cos x\right)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
$$3-4\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3+4\cos x=0.$$
Тогда
$$\sin x=\frac34 \quad \text{или} \quad \cos x=-\frac34.$$
Отсюда получаем:
$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=\pm\arccos\left(-\frac34\right)+2\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
Так как
$$\arccos\left(-\frac34\right)=\pi-\arccos\frac34,$$
то можно записать ответ в виде
$$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi m,\quad n,m\in\mathbb Z.$$
2) Рассмотрим уравнение
$$\left(\tg x+3\right)\left(\tg x+1\right)=0.$$
Произведение равно нулю, если
$$\tg x+3=0 \quad \text{или} \quad \tg x+1=0.$$
Тогда
$$\tg x=-3 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$
Следовательно,
$$x=-\arctg 3+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi m,\quad m\in\mathbb Z.$$
Ответ:
1) $$x=(-1)^n\arcsin\frac34+\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac34\right)+2\pi m,\quad n,m\in\mathbb Z.$$
2) $$x=-\arctg 3+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi m,\quad n,m\in\mathbb Z.$$
