Упр.1364 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$3\cos^2 x-5\cos x-12=0$$
2. $$3\operatorname{tg}^2 x-4\operatorname{tg}x+5=0$$

1) Рассмотрим уравнение $$3\cos^2 x-5\cos x-12=0.$$

Пусть $$y=\cos x.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$3y^2-5y-12=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-12)=25+144=169.$$

Тогда

$$y_{1,2}=\frac{5\pm \sqrt{169}}{2\cdot 3}=\frac{5\pm 13}{6}.$$

Получаем корни:

$$y_1=3,\qquad y_2=-\frac{4}{3}.$$

Но $$\cos x\in[-1;1],$$ поэтому значения $$3$$ и $$-\frac{4}{3}$$ не подходят.

Следовательно, первое уравнение решений не имеет.

2) Рассмотрим уравнение $$3\tg^2 x-4\tg x+5=0.$$

Пусть $$y=\tg x.$$ Тогда

$$3y^2-4y+5=0.$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot 5=16-60=-44.$$

Так как $$D<0,$$ квадратное уравнение не имеет действительных корней, значит, и исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: 1) нет решений; 2) нет решений.