Упр.1359 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Могут ли корни уравнения $$(x-m)(x-n)=k^2$$ быть чисто мнимыми, если $$m$$, $$n$$ и $$k$$ — действительные числа?

Приведём уравнение к стандартному виду:

$$(x-m)(x-n)=k^2$$

$$x^2-(m+n)x+mn-k^2=0$$

Для того чтобы корни были чисто мнимыми, у квадратного уравнения должны быть комплексные корни, то есть дискриминант должен быть отрицательным:

$$D=(m+n)^2-4(mn-k^2)$$

$$D=m^2+2mn+n^2-4mn+4k^2$$

$$D=(m-n)^2+4k^2$$

Но $$(m-n)^2 \ge 0$$ и $$4k^2 \ge 0$$, значит

$$D\ge 0$$

Следовательно, дискриминант не может быть отрицательным, а значит, корни уравнения не могут быть чисто мнимыми.

Ответ: не могут.