Упр.1358 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) xlgx=100x;
3) log2(17-2x)+log2(2x+15) =8;
4) log2(3+2x)+log2(5-2x)=4.

Подробный ответ

$$x^{1+\lg x}=10x$$
Прологарифмируем обе части по основанию $$x$$:
$$\log_x x^{1+\lg x}=\log_x 10x$$
$$1+\lg x=\log_x 10+\log_x x$$
$$1+\lg x=\frac{\lg 10}{\lg x}+1$$
$$1+\lg x=\frac{1}{\lg x}+1$$
$$\lg x=\frac{1}{\lg x}$$
$$\lg^2 x=1$$
$$\lg x=\pm 1$$
Если $$\lg x=1$$, то $$x=10$$.
Если $$\lg x=-1$$, то $$x=10^{-1}=0{,}1$$.
$$x^{\lg x}=100x$$
Прологарифмируем обе части по основанию $$x$$:
$$\log_x x^{\lg x}=\log_x 100x$$
$$\lg x=\log_x 100+\log_x x$$
$$\lg x=\frac{\lg 100}{\lg x}+1$$
$$\lg x=\frac{2}{\lg x}+1$$
$$\lg^2 x=2+\lg x$$
$$\lg^2 x-\lg x-2=0$$
Пусть $$y=\lg x$$. Тогда
$$y^2-y-2=0$$
$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$
$$y=2 \text{ или } y=-1$$
Если $$\lg x=2$$, то $$x=100$$.
Если $$\lg x=-1$$, то $$x=0{,}1$$.
$$\log_2(17-2^x)+\log_2(2^x+15)=8$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\bigl((17-2^x)(2^x+15)\bigr)=8$$
Тогда
$$\left(17-2^x\right)\left(2^x+15\right)=2^8=256$$
$$17\cdot 2^x+255-2^{2x}-15\cdot 2^x=256$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$
Пусть $$t=2^x$$. Тогда
$$t^2-2t+1=0$$
$$\left(t-1\right)^2=0$$
$$t=1$$, значит $$2^x=1$$ и $$x=0$$.
Проверка области определения: $$17-2^x>0$$ и $$2^x+15>0$$ при $$x=0$$ выполняются.
$$\log_2(3+2^x)+\log_2(5-2^x)=4$$
Объединим логарифмы:
$$\log_2\bigl((3+2^x)(5-2^x)\bigr)=4$$
Тогда
$$\left(3+2^x\right)\left(5-2^x\right)=2^4=16$$
$$15-3\cdot 2^x+5\cdot 2^x-2^{2x}=16$$
$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$
Пусть $$t=2^x$$. Тогда
$$t^2-2t+1=0$$
$$\left(t-1\right)^2=0$$
$$t=1$$, значит $$2^x=1$$ и $$x=0$$.
Проверка области определения: $$3+2^x>0$$ и $$5-2^x>0$$ при $$x=0$$ выполняются.