Упр.1358 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x(1+\lg x)=10x$$
2. $$x\lg x=100x$$
3. $$\log_2(17-2x)+\log_2(2x+15)=8$$
4. $$\log_2(3+2x)+\log_2(5-2x)=4$$

1) $$x^{1+\lg x}=10x$$

Прологарифмируем обе части по основанию $$x$$:

$$\log_x x^{1+\lg x}=\log_x 10x$$

Тогда

$$1+\lg x=\log_x 10+\log_x x=1+\frac{\lg 10}{\lg x}=1+\frac{1}{\lg x}$$

Отсюда

$$\lg x=\frac{1}{\lg x}$$

$$\lg^2 x=1$$

$$\lg x=\pm 1$$

Если $$\lg x=1$$, то $$x=10$$.

Если $$\lg x=-1$$, то $$x=0{,}1$$.

Итак, $$x=0{,}1$$ и $$x=10$$.

2) $$x^{\lg x}=100x$$

Прологарифмируем обе части по основанию $$x$$:

$$\log_x x^{\lg x}=\log_x 100x$$

Тогда

$$\lg x=\log_x 100+\log_x x=\frac{\lg 100}{\lg x}+1=\frac{2}{\lg x}+1$$

Умножим на $$\lg x$$:

$$\lg^2 x=2+\lg x$$

$$\lg^2 x-\lg x-2=0$$

Пусть $$y=\lg x$$. Тогда

$$y^2-y-2=0$$

$$\left(y-2\right)\left(y+1\right)=0$$

$$y=2 \text{ или } y=-1$$

Если $$\lg x=2$$, то $$x=100$$.

Если $$\lg x=-1$$, то $$x=0{,}1$$.

Итак, $$x=0{,}1$$ и $$x=100$$.

3) $$\log_2(17-2^x)+\log_2(2^x+15)=8$$

Область определения:

$$17-2^x>0,\qquad 2^x+15>0$$

Сложим логарифмы:

$$\log_2\bigl((17-2^x)(2^x+15)\bigr)=8$$

Тогда

$$\left(17-2^x\right)\left(2^x+15\right)=2^8=256$$

Раскроем скобки:

$$17\cdot 2^x+255-2^{2x}-15\cdot 2^x=256$$

$$-2^{2x}+2\cdot 2^x-1=0$$

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$

Пусть $$t=2^x$$. Тогда

$$t^2-2t+1=0$$

$$\left(t-1\right)^2=0$$

$$t=1$$

Значит, $$2^x=1$$, откуда $$x=0$$.

Проверка ОДЗ выполняется.

4) $$\log_2(3+2^x)+\log_2(5-2^x)=4$$

Область определения:

$$3+2^x>0,\qquad 5-2^x>0$$

Сложим логарифмы:

$$\log_2\bigl((3+2^x)(5-2^x)\bigr)=4$$

Тогда

$$\left(3+2^x\right)\left(5-2^x\right)=2^4=16$$

Раскроем скобки:

$$15-3\cdot 2^x+5\cdot 2^x-2^{2x}=16$$

$$-2^{2x}+2\cdot 2^x-1=0$$

$$2^{2x}-2\cdot 2^x+1=0$$

Пусть $$t=2^x$$. Тогда

$$t^2-2t+1=0$$

$$\left(t-1\right)^2=0$$

$$t=1$$

Следовательно, $$2^x=1$$, откуда $$x=0$$.

Проверка ОДЗ выполняется.

Ответ

1) $$x=0{,}1;\ 10$$; 2) $$x=0{,}1;\ 100$$; 3) $$x=0$$; 4) $$x=0$$.