Упр.1357 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\log_{4}\left(2+\sqrt{x+3}\right)=1$$
2. $$\log_{\frac{1}{3}}\left(\sqrt{x^2-2x}\right)=-\frac{1}{2}$$
3. $$\frac{1}{2}\log_{3}(x+1)=\log_{3}\left(\sqrt{x+4}-2\log_{3}\left(\sqrt{2}\right)\right)$$

1) $$\log_4(2+\sqrt{x+3})=1$$

Так как $$1=\log_4 4,$$ получаем:

$$\log_4(2+\sqrt{x+3})=\log_4 4$$

Тогда

$$2+\sqrt{x+3}=4$$

$$\sqrt{x+3}=2$$

$$x+3=4$$

$$x=1$$

Проверка области определения: $$x+3\ge 0,$$ при $$x=1$$ условие выполняется.

Ответ: $$1$$

2) $$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=-\frac12$$

Представим правую часть в виде логарифма:

$$-\frac12=\log_{\frac13}\left(\frac13\right)^{-\frac12}=\log_{\frac13}\sqrt3$$

Тогда

$$\log_{\frac13}\sqrt{x^2-2x}=\log_{\frac13}\sqrt3$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2-2x}=\sqrt3$$

$$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x-3=0$$

$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$$

$$x=-1 \text{ или } x=3$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-2x>0.$$ Оба корня подходят.

Ответ: $$-1;\ 3$$

3) $$\frac12\log_3(x+1)=\log_3\sqrt{x+4}-2\log_3\sqrt2$$

Преобразуем выражения:

$$\frac12\log_3(x+1)=\log_3\sqrt{x+1}$$

$$2\log_3\sqrt2=\log_3 2$$

Тогда

$$\log_3\sqrt{x+1}=\log_3\sqrt{x+4}-\log_3 2$$

$$\log_3\sqrt{x+1}=\log_3\frac{\sqrt{x+4}}{2}$$

Следовательно,

$$\sqrt{x+1}=\frac{\sqrt{x+4}}{2}$$

$$2\sqrt{x+1}=\sqrt{x+4}$$

Возведём в квадрат:

$$4(x+1)=x+4$$

$$4x+4=x+4$$

$$3x=0$$

$$x=0$$

Проверка ОДЗ: $$x+1>0,\ x+4>0.$$ При $$x=0$$ условия выполняются.

Ответ: $$0$$