Упр.1355 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$x\lg x=10$$
2. $$x\log_3(x)=9x$$
3. $$x\lg x-1=10(1-x^{-\lg x})$$
4. $$x\sqrt{x}=\sqrt{xx}$$

1) Рассмотрим уравнение $$x^{\lg x}=10.$$

Положим $$t=\lg x,$$ тогда $$x=10^t$$ и

$$x^{\lg x}=(10^t)^t=10^{t^2}.$$

Получаем

$$10^{t^2}=10^1 \Rightarrow t^2=1 \Rightarrow t=\pm 1.$$

Тогда

$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$

$$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$

2) Рассмотрим уравнение $$x^{\log_3 x}=9x.$$

Положим $$t=\log_3 x,$$ тогда $$x=3^t,$$ а также $$9=3^2.$$

Тогда

$$x^{\log_3 x}=(3^t)^t=3^{t^2}, \qquad 9x=3^2\cdot 3^t=3^{t+2}.$$

Следовательно,

$$3^{t^2}=3^{t+2} \Rightarrow t^2=t+2 \Rightarrow t^2-t-2=0.$$

$$t=-1 \text{ или } t=2.$$

Тогда

$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13,$$

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$

3) Рассмотрим уравнение $$x^{\lg x}-1=10\left(1-x^{-\lg x}\right).$$

Преобразуем:

$$x^{\lg x}-1=10-10x^{-\lg x}$$

$$x^{\lg x}+10x^{-\lg x}-11=0.$$

Положим $$t=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac1t,$$ и получаем

$$t+\frac{10}{t}-11=0 \qquad (t\ne 0).$$

Умножим на $$t$$:

$$t^2-11t+10=0.$$

$$D=11^2-4\cdot 10=81,$$

$$t_1=1,\quad t_2=10.$$

1) $$x^{\lg x}=1 \Rightarrow \lg x=0 \Rightarrow x=1.$$

2) $$x^{\lg x}=10.$$ По пункту 1 получаем решения

$$x=0{,}1 \text{ и } x=10.$$

4) Рассмотрим уравнение $$x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x^x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Положим $$t=\sqrt{x},$$ тогда $$x=t^2,$$ и уравнение принимает вид

$$\left(t^2\right)^t=\sqrt{(t^2)^{t^2}}.$$

Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

$$\left(t^2\right)^{2t}=(t^2)^{t^2}.$$

Отсюда

$$t^{4t}=t^{2t^2}.$$

При $$t>0$$ получаем

$$4t=2t^2 \Rightarrow t^2-2t=0 \Rightarrow t(t-2)=0.$$

Так как $$t=\sqrt{x}\ge 0,$$ то

$$t=0 \text{ или } t=2.$$

Тогда

$$x=0 \text{ или } x=4.$$

Проверка показывает, что $$x=0$$ не подходит, поэтому остаётся

$$x=4.$$

Ответ

1) $$x=0{,}1,\ 10$$; 2) $$x=\frac13,\ 9$$; 3) $$x=1,\ 0{,}1,\ 10$$; 4) $$x=4$$.