Упр.1355 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

2) xlog3(x) =9x;
3)xlgx — 1=10(1-x^-lgx);
4) x корень x= корень xx.

Подробный ответ

$$x^{\lg x}=10$$
Положим $$y=\lg x$$. Тогда $$x=10^y$$ и
$$x^{\lg x}=(10^y)^y=10^{y^2}.$$
Получаем
$$10^{y^2}=10 \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y=\pm 1.$$
Тогда
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$
$$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$
$$x^{\log_3 x}=9x$$
Положим $$y=\log_3 x$$. Тогда $$x=3^y$$, а также
$$9x=3^2\cdot 3^y=3^{y+2}.$$
Левая часть:
$$x^{\log_3 x}=(3^y)^y=3^{y^2}.$$
Следовательно,
$$3^{y^2}=3^{y+2} \Rightarrow y^2-y-2=0.$$
$$y_1=-1,\quad y_2=2.$$
Тогда
$$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac13,$$
$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=9.$$
$$x^{\lg x}-1=10\left(1-x^{-\lg x}\right)$$
Преобразуем:
$$x^{\lg x}-1=10-10x^{-\lg x}$$
$$x^{\lg x}+10x^{-\lg x}-11=0.$$
Положим $$y=x^{\lg x}.$$ Тогда $$x^{-\lg x}=\frac1y$$, и получаем
$$y+\frac{10}{y}-11=0,$$
$$y^2-11y+10=0,$$
$$y_1=1,\quad y_2=10.$$
1) $$x^{\lg x}=1 \Rightarrow \lg x=0 \Rightarrow x=1.$$
2) $$x^{\lg x}=10 \Rightarrow 10^{(\lg x)^2}=10 \Rightarrow (\lg x)^2=1,$$
откуда
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$
$$\lg x=-1 \Rightarrow x=0{,}1.$$
$$x^{\sqrt{x}}=\sqrt{x^x}$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
При $$x=0$$ равенство не имеет смысла, поэтому $$x>0.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\left(x^{\sqrt{x}}\right)^2=x^x.$$
Положим $$y=\sqrt{x}$$, тогда $$x=y^2$$. Получаем
$$\left((y^2)^y\right)^2=(y^2)^{y^2}$$
$$y^{4y}=y^{2y^2}.$$
Так как $$y>0$$, приравниваем показатели:
$$4y=2y^2$$
$$y^2-2y=0$$
$$y(y-2)=0.$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y=2$$, значит
$$x=y^2=4.$$