Упр.1354 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5^{\log_3(x^2)}-6\cdot5^{\log_3 x}+5=0$$
2. $$25^{\log_3 x}-4\cdot5^{\log_3 x}+1=125$$

Пусть $$y=5^{\log_3 x}.$$ Тогда

$$5^{2\log_3 x}-6\cdot 5^{\log_3 x}+5=0 \;\;\Longrightarrow\;\; y^2-6y+5=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$y^2-6y+5=(y-1)(y-5)=0,$$

откуда $$y=1$$ или $$y=5.$$

1) Если $$5^{\log_3 x}=1,$$ то

$$\log_3 x=0,\qquad x=1.$$

2) Если $$5^{\log_3 x}=5,$$ то

$$\log_3 x=1,\qquad x=3.$$

Оба значения подходят.

Пусть теперь $$y=5^{\log_3 x}.$$ Тогда

$$25^{\log_3 x}-4\cdot 5^{\log_3 x+1}=125$$

преобразуем к виду

$$\left(5^{\log_3 x}\right)^2-4\cdot 5\cdot 5^{\log_3 x}=125,$$

то есть

$$y^2-20y-125=0.$$

Решим уравнение:

$$D=(-20)^2-4\cdot 1\cdot(-125)=400+500=900,$$

$$y_{1,2}=\frac{20\pm 30}{2}.$$

Получаем:

$$y_1=25,\qquad y_2=-5.$$

Так как $$5^{\log_3 x}>0,$$ значение $$y=-5$$ не подходит. Тогда

$$5^{\log_3 x}=25=5^2,$$

следовательно,

$$\log_3 x=2,\qquad x=9.$$

Ответ

1) $$x=1,\;3.$$
2) $$x=9.$$