Упр.1352 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) $$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac12-\lg x$$

Преобразуем правую часть:

$$\lg\left(\frac12+x\right)=\lg\frac{1}{2x}$$

Тогда

$$\frac12+x=\frac{1}{2x}$$

Умножим на $$2x$$:

$$x+2x^2=1$$

$$2x^2+x-1=0$$

$$D=1+8=9$$

$$x_{1}=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad x_{2}=\frac{-1+3}{4}=\frac12$$

Проверим область допустимых значений:

$$\frac12+x>0 \Rightarrow x>-\frac12,\qquad x>0$$

Подходит только $$x=\frac12$$.

2) $$2\lg x=-\lg\frac{1}{6-x^2}$$

Перепишем левую часть и перенесём логарифмы:

$$\lg x^2=\lg(6-x^2)$$

Отсюда

$$x^2=6-x^2$$

$$2x^2=6$$

$$x^2=3$$

$$x=\pm\sqrt3$$

С учётом области допустимых значений:

$$x>0,\qquad 6-x^2>0$$

остаётся только $$x=\sqrt3$$.

Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$\sqrt3$$.