Упр.1351 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\ln\frac{2}{x+1}=\ln(x+2)$$
2. $$\log_3\sqrt{3x-6}-\log_3\sqrt{x-3}=1$$

1) Рассмотрим уравнение $$\ln \frac{2}{x+1}=\ln(x+2).$$

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

$$\frac{2}{x+1}=x+2.$$

Умножим на $$x+1$$:

$$2=(x+1)(x+2).$$

$$2=x^2+3x+2.$$

$$x^2+3x=0.$$

$$x(x+3)=0,$$

откуда $$x=0$$ или $$x=-3.$$

Проверим область допустимых значений:

$$x+1>0,\quad x+2>0.$$

Следовательно, $$x>-1.$$ Значение $$x=-3$$ не подходит, остаётся $$x=0.$$

2) Рассмотрим уравнение $$\log_3\sqrt{3x-6}-\log_3\sqrt{x-3}=1.$$

Объединим логарифмы:

$$\log_3\left(\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}}\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{\sqrt{3x-6}}{\sqrt{x-3}}=3.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$\frac{3x-6}{x-3}=9.$$

$$3x-6=9(x-3).$$

$$3x-6=9x-27.$$

$$21=6x,$$

$$x=3{,}5.$$

Проверим ОДЗ:

$$3x-6>0,\quad x-3>0,$$

откуда $$x>3.$$ Значение $$x=3{,}5$$ подходит.

Ответ

1) $$x=0$$; 2) $$x=3{,}5$$.