Упр.1345 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}=35^{\frac{1}{2}(5x+6)}$$
2. $$0{,}2^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=\left(\frac{1}{5}\right)^6$$

1. $$5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}=35^{\frac12(5x+6)}$$

   Так как $$35=5\cdot 7,$$ то

   $$5^{2x+5}\cdot 7^{3x+1}=5^{\frac52x+3}\cdot 7^{\frac52x+3}.$$

   Перенесём степени с одинаковыми основаниями в одну сторону:

   $$5^{2x+5-\left(\frac52x+3\right)}\cdot 7^{3x+1-\left(\frac52x+3\right)}=1,$$

   $$5^{0{,}5x+2}\cdot 7^{0{,}5x-2}=1.$$

   Отсюда

   $$\left(\frac57\right)^{0{,}5x}=\left(\frac57\right)^2,$$

   значит,

   $$0{,}5x=2,$$

   $$x=4.$$

2. $$0{,}2^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=\left(\frac15\right)^6$$

   Так как $$0{,}2=\frac15,$$ получаем

   $$\left(\frac15\right)^{x^2}\cdot 5^{2x+2}=5^{-6}.$$

   Тогда

   $$5^{-x^2}\cdot 5^{2x+2}=5^{-6},$$

   $$-x^2+2x+2=-6,$$

   $$x^2-2x-8=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-8)=4+32=36,$$

   $$x=\frac{2\pm 6}{2}.$$

   Получаем:

   $$x_1=-2,\quad x_2=4.$$

Ответ: 1) $$x=4$$; 2) $$x=-2,\ 4$$.