Упр.1342 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1342. Решить уравнение:
      1) $$\sqrt{2x+7}=x+2$$;
      2) $$x=2-\sqrt{2x-5}$$.

1) Рассмотрим уравнение $$\sqrt{2x+7}=x+2.$$

Возведём обе части в квадрат, учитывая, что $$x+2\ge 0.$$ Тогда получаем:

$$2x+7=(x+2)^2$$

$$2x+7=x^2+4x+4$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=-3$$

Проверим условия:

$$2x+7\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac{7}{2},$$

$$x+2\ge 0 \Rightarrow x\ge -2.$$

Из найденных корней этим условиям и исходному уравнению удовлетворяет только $$x=1.$$

2) Рассмотрим уравнение $$x=2-\sqrt{2x-5}.$$

Перенесём корень влево:

$$\sqrt{2x-5}=2-x.$$

Тогда должны выполняться условия:

$$2x-5\ge 0,\qquad 2-x\ge 0.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$2x-5=(2-x)^2$$

$$2x-5=x^2-4x+4$$

$$x^2-6x+9=0$$

$$\left(x-3\right)^2=0$$

$$x=3.$$

Но при $$x=3$$ получаем:

$$2-x=-1<0,$$

а значит, это значение не подходит. Следовательно, корней нет.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) корней нет.