Упр.1341 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти наибольший рациональный корень уравнения $$\left|-x^2-8x+5\right|=2x$$.

Рассмотрим уравнение $$|x^2-8x+5|=2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-8x+5=0,$$

$$D=64-20=44,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{44}}{2}=4\pm\sqrt{11}.$$

Тогда

$$x^2-8x+5\ge 0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;4-\sqrt{11}] \cup [4+\sqrt{11};+\infty),$$

а

$$x^2-8x+5<0 \quad \text{при} \quad x\in(4-\sqrt{11};4+\sqrt{11}).$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x\in(-\infty;4-\sqrt{11}] \cup [4+\sqrt{11};+\infty),$$ то

   $$x^2-8x+5=2x,$$

   $$x^2-10x+5=0.$$

   $$D=100-20=80,$$

   $$x=\frac{10\pm\sqrt{80}}{2}=5\pm 2\sqrt{5}.$$

   Из них условию подходит только $$x=5+2\sqrt{5},$$ но это число не рационально.

2. Если $$x\in(4-\sqrt{11};4+\sqrt{11}),$$ то

   $$-(x^2-8x+5)=2x,$$

   $$-x^2+8x-5=2x,$$

   $$x^2-6x+5=0.$$

   $$D=36-20=16,$$

   $$x=\frac{6\pm 4}{2}.$$

   Получаем $$x_1=1,$$ $$x_2=5.$$ Оба корня подходят, и оба рациональны.

Наибольший рациональный корень: $$5.$$

Ответ: $$5$$