Упр.1341 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

|-x2 -8x + 5| = 2х.

Рассмотрим уравнение

$$|x^2-8x+5|=2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-8x+5\ge 0.$$

Решим квадратное уравнение $$x^2-8x+5=0$$:

$$D=64-20=44,$$

$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{44}}{2}=4\pm\sqrt{11}.$$

Тогда

$$x^2-8x+5\ge 0 \quad \text{при} \quad x\in(-\infty;4-\sqrt{11}] \cup [4+\sqrt{11};+\infty).$$

1) Если $$x\in(-\infty;4-\sqrt{11}] \cup [4+\sqrt{11};+\infty),$$ то

$$x^2-8x+5=2x,$$

$$x^2-10x+5=0.$$

Тогда

$$D=100-20=80,$$

$$x=\frac{10\pm\sqrt{80}}{2}=5\pm 2\sqrt{5}.$$

Из них подходит только $$x=5+2\sqrt{5},$$ но он не является рациональным.

2) Если $$x\in(4-\sqrt{11};\,4+\sqrt{11}),$$ то

$$-(x^2-8x+5)=2x,$$

$$-x^2+8x-5=2x,$$

$$x^2-6x+5=0.$$

Тогда

$$D=36-20=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2},$$

$$x_1=1,\quad x_2=5.$$

Оба корня подходят, и среди них наибольший рациональный корень — $$5$$.

Ответ

$$5$$