Упр.1340 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти наименьший корень уравнения $$|x^2-3x-6|=2x$$.

Рассмотрим уравнение $$|x^2-3x-6|=2x.$$

Так как левая часть неотрицательна, то $$2x\ge 0,$$ значит $$x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $$x$$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-3x-6=0,$$

$$D=9+24=33,$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}.$$

Следовательно,

$$x^2-3x-6\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le \frac{3-\sqrt{33}}{2}\ \text{или}\ x\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2},$$

а

$$x^2-3x-6<0 \quad \text{при} \quad \frac{3-\sqrt{33}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$x\le \frac{3-\sqrt{33}}{2}$$ или $$x\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2},$$ то

   $$x^2-3x-6=2x,$$

   $$x^2-5x-6=0,$$

   $$D=25+24=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2},$$

   откуда $$x=-1$$ и $$x=6.$$

   Из них подходит только $$x=6,$$ так как $$x\ge 0$$ и $$6\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

2. Если $$\frac{3-\sqrt{33}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{33}}{2},$$ то

   $$-(x^2-3x-6)=2x,$$

   $$-x^2+3x+6=2x,$$

   $$x^2-x-6=0,$$

   $$D=1+24=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2},$$

   откуда $$x=-2$$ и $$x=3.$$

   Подходит только $$x=3,$$ так как $$3$$ лежит в указанном промежутке.

Сравнивая найденные корни, получаем наименьший корень: $$3.$$

Ответ: $$3$$