Упр.1340 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 11 класс, Просвещение: 1340 Найти наименьший корень уравнения |x2-3x-6|=2x. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 alim10-11 1340 1111

Рассмотрим уравнение:

$$|x^2-3x-6|=2x$$

Так как левая часть неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$$2x\ge 0,\quad x\ge 0.$$

Найдём, при каких значениях $x$ выражение под модулем неотрицательно:

$$x^2-3x-6=0$$

$$D=9+24=33$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}$$

Тогда

$$x^2-3x-6\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le \frac{3-\sqrt{33}}{2}\ \text{или}\ x\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2}.$$

Рассмотрим два случая.

1) Если $$x\le \frac{3-\sqrt{33}}{2}$$ или $$x\ge \frac{3+\sqrt{33}}{2},$$ то

$$x^2-3x-6=2x$$

$$x^2-5x-6=0$$

$$D=25+24=49$$

$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2}$$

$$x_1=-1,\quad x_2=6.$$

Из них подходит только $$x=6,$$ так как $$-1<0.$$

2) Если $$\frac{3-\sqrt{33}}{2}

$$-(x^2-3x-6)=2x$$

$$-x^2+3x+6=2x$$

$$x^2-x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=3.$$

Из них подходит только $$x=3.$$

Сравниваем найденные корни: $$3<6,$$ значит наименьший корень — $$3.$$

Ответ

$$3$$