Упр.1339 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$|6-2x|=3x+1$$
2. $$2|x-2|=|x|-1$$

1) Рассмотрим уравнение $$|6-2x|=3x+1.$$

Так как правая часть должна быть неотрицательной, имеем $$3x+1\ge 0.$$

Рассмотрим два случая.

1. Если $$6-2x\ge 0,$$ то $$6-2x=3x+1.$$ Тогда

$$-5x=-5,\qquad x=1.$$

Проверка: $$6-2\cdot 1=4\ge 0,$$ значит, значение подходит.

2. Если $$6-2x<0,$$ то $$2x-6=3x+1.$$ Тогда

$$-x=7,\qquad x=-7.$$

Но при $$x=-7$$ правая часть равна $$3x+1=-20<0,$$ а модуль не может быть отрицательным. Значит, это значение не подходит.

Ответ: $$x=1.$$

2) Решим уравнение $$2|x-2|=|x|-1.$$

Рассмотрим промежутки, на которых выражения под модулями раскрываются по-разному.

1. Если $$x<0,$$ то $$|x-2|=2-x,$$ $$|x|=-x.$$ Получаем

$$2(2-x)=-x-1,$$

$$4-2x=-x-1,$$

$$x=5.$$

Но $$5\not<0,$$ значит, это значение не подходит.

2. Если $$0\le x<2,$$ то $$|x-2|=2-x,$$ $$|x|=x.$$ Тогда

$$2(2-x)=x-1,$$

$$4-2x=x-1,$$

$$3x=5,$$

$$x=\frac{5}{3}.$$

Это значение принадлежит промежутку $$[0;2),$$ значит, подходит.

3. Если $$x\ge 2,$$ то $$|x-2|=x-2,$$ $$|x|=x.$$ Получаем

$$2(x-2)=x-1,$$

$$2x-4=x-1,$$

$$x=3.$$

Это значение подходит.

Ответ: $$x=3,\ \frac{5}{3}.$$